Para as cônicas em coordenadas polares, determine os vértices e focos:
Passo 1
Enunciado e o que pedem: temos a cônica dada em coordenadas polares
O que pedem: determinar os vértices e os focos dessa cônica. Informações relevantes do enunciado: a equação polar da cônica (acima) é tudo o que precisamos.
Passo 2
Colocar a equação numa forma padrão. A forma padrão para uma cônica com foco na origem (polo) costuma ser
onde
é a excentricidade e
é o parâmetro (o semi-latus rectum, que também vale
se
é a distância da origem à diretriz). Para comparar, divido numerador e denominador da equação dada por
:
Logo identificamos
Comentário amigável:
nos diz que a cônica é uma elipse (fica na memória:
elipse,
parábola,
hipérbole).
Passo 3
Encontrar a diretriz (apenas para contextualizar) — na forma
temos
, então
Isto significa que a diretriz associada é a reta vertical
(o sinal
indica diretriz à direita do polo). Isso confirma a orientação: eixo maior é horizontal, com foco no polo (origem) à direita relativa ao centro.
Passo 4
Conversão para coordenadas cartesianas para achar centro, semi-eixos, vértices e foci. Use
e
. Substituindo em
:
Agora elevamos ao quadrado para eliminar a raiz (explico: isso é padrão — cuidado com sinais, aqui
é positivo nos pontos relevantes porque a equação representa a elipse):
Reorganizando os termos:
Essa é a forma quadrática da elipse sem termo misto
; como não há termo linear em
, o centro está sobre o eixo
.
Passo 5
Substituir os valores numéricos
e
. Calculemos coeficientes:
A equação fica
Para achar o centro basta completar quadrado no termo em
ou usar a fórmula direta para deslocamento do centro (quando a conica tem simetria em
-eixo): o centro tem coordenada
Vamos calcular:
Portanto o centro é
. (Uma forma de ver isso é que completando o quadrado obteríamos exatamente um termo
.)
Passo 6
Agora coloque a equação na forma canônica do elipse. Voltando à forma antes de completar quadrado de maneira simbólica, temos (estado geral):
Isto foi obtido completando o quadrado e reorganizando (se quiser, repita o passo algébrico: subtrai-se o quadrado completado e passa-se para o lado direito). Dividindo ambos os lados por
obtemos a forma padrão
Assim os semi-eixos são
Substituindo números:
Portanto
Passo 7
Calcular a distância focal
(metade da distância entre focos) usando
. Assim
logo
Os focos ficam então em
sobre o eixo
. Como
temos:
Portanto os focos são
e
. Observe que
é o polo original da equação polar, como deveria acontecer.
Passo 8
Encontrar os vértices: são os pontos
(eixo maior horizontal). Calculamos:
Então os vértices são
e
. Checagem rápida: para
a equação polar dá
, que corresponde ao vértice à direita; para
temos
, que é o vértice à esquerda
. Tudo consistente.
Resposta
Vértices:
e
Focos: e
Focos: