Para as cônicas em coordenadas polares, determine os vértices e focos:
r=\frac{12}{4+3 \cos \theta}

Passo 1

Enunciado e o que pedem: temos a cônica dada em coordenadas polares
r=\frac{12}{4+3\cos\theta}
O que pedem: determinar os vértices e os focos dessa cônica. Informações relevantes do enunciado: a equação polar da cônica (acima) é tudo o que precisamos.

Passo 2

Colocar a equação numa forma padrão. A forma padrão para uma cônica com foco na origem (polo) costuma ser
r=\frac{p}{1+e\cos\theta},
onde e é a excentricidade e p é o parâmetro (o semi-latus rectum, que também vale e d se d é a distância da origem à diretriz). Para comparar, divido numerador e denominador da equação dada por 4:
r=\frac{12}{4+3\cos\theta}=\frac{12/4}{1+\frac{3}{4}\cos\theta}=\frac{3}{1+\frac{3}{4}\cos\theta}.
Logo identificamos
e=\frac{3}{4},\qquad p=3.
Comentário amigável: e=\tfrac{3}{4}<1 nos diz que a cônica é uma elipse (fica na memória: e<1 elipse, e=1 parábola, e>1 hipérbole).

Passo 3

Encontrar a diretriz (apenas para contextualizar) — na forma r=\dfrac{ed}{1+e\cos\theta} temos p=ed, então
d=\frac{p}{e}=\frac{3}{3/4}=4.
Isto significa que a diretriz associada é a reta vertical x=4 (o sinal +\cos\theta indica diretriz à direita do polo). Isso confirma a orientação: eixo maior é horizontal, com foco no polo (origem) à direita relativa ao centro.

Passo 4

Conversão para coordenadas cartesianas para achar centro, semi-eixos, vértices e foci. Use r=\sqrt{x^2+y^2} e \cos\theta=\dfrac{x}{r}. Substituindo em r=\dfrac{p}{1+e\cos\theta}:
r=\frac{p}{1+e\frac{x}{r}}\quad\Rightarrow\quad r\Big(1+e\frac{x}{r}\Big)=p
\Rightarrow\quad r+ex=p\quad\Rightarrow\quad \sqrt{x^2+y^2}=p-ex.
Agora elevamos ao quadrado para eliminar a raiz (explico: isso é padrão — cuidado com sinais, aqui p-ex é positivo nos pontos relevantes porque a equação representa a elipse):
x^2+y^2 = p^2 -2epx + e^2 x^2.
Reorganizando os termos:
(1-e^2)x^2 + y^2 + 2epx - p^2 = 0.
Essa é a forma quadrática da elipse sem termo misto xy; como não há termo linear em y, o centro está sobre o eixo x.

Passo 5

Substituir os valores numéricos e=\tfrac{3}{4} e p=3. Calculemos coeficientes:
1-e^2 = 1-\left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16},
2ep = 2\cdot\frac{3}{4}\cdot 3 = \frac{9}{2}, \qquad p^2=9.
A equação fica
\frac{7}{16}x^2 + y^2 + \frac{9}{2}x - 9 = 0.
Para achar o centro basta completar quadrado no termo em x ou usar a fórmula direta para deslocamento do centro (quando a conica tem simetria em x-eixo): o centro tem coordenada
x_0 = -\frac{ep}{1-e^2}.
Vamos calcular:
x_0 = -\frac{e p}{1-e^2} = -\frac{\frac{3}{4}\cdot 3}{7/16} = -\frac{9/4}{7/16} = -\frac{9}{4}\cdot\frac{16}{7} = -\frac{36}{7}.
Portanto o centro é \bigl(-\tfrac{36}{7},\,0\bigr). (Uma forma de ver isso é que completando o quadrado obteríamos exatamente um termo (x+36/7)^2.)

Passo 6

Agora coloque a equação na forma canônica do elipse. Voltando à forma antes de completar quadrado de maneira simbólica, temos (estado geral):
(1-e^2)\Big(x+\frac{ep}{1-e^2}\Big)^2 + y^2 = \frac{p^2}{1-e^2}.
Isto foi obtido completando o quadrado e reorganizando (se quiser, repita o passo algébrico: subtrai-se o quadrado completado e passa-se para o lado direito). Dividindo ambos os lados por \dfrac{p^2}{1-e^2} obtemos a forma padrão
\frac{\big(x+\frac{ep}{1-e^2}\big)^2}{\displaystyle\frac{p^2}{(1-e^2)^2}} + \frac{y^2}{\displaystyle\frac{p^2}{1-e^2}} = 1.
Assim os semi-eixos são
a^2=\frac{p^2}{(1-e^2)^2},\qquad b^2=\frac{p^2}{1-e^2}.
Substituindo números:
a^2=\frac{3^2}{(7/16)^2}=\frac{9}{49/256}=\frac{9\cdot 256}{49}=\frac{2304}{49},
b^2=\frac{9}{7/16}=\frac{9\cdot 16}{7}=\frac{144}{7}.
Portanto
a=\frac{48}{7},\qquad b=\frac{12}{\sqrt{7}}.

Passo 7

Calcular a distância focal c (metade da distância entre focos) usando c^2=a^2-b^2. Assim
c^2=\frac{2304}{49}-\frac{144}{7}=\frac{2304}{49}-\frac{1008}{49}=\frac{1296}{49},
logo
c=\frac{36}{7}.
Os focos ficam então em x=x_0\pm c sobre o eixo x. Como x_0=-\tfrac{36}{7} temos:
x_0 + c = -\frac{36}{7} + \frac{36}{7} = 0,
x_0 - c = -\frac{36}{7} - \frac{36}{7} = -\frac{72}{7}.
Portanto os focos são \bigl(0,0\bigr) e \bigl(-\tfrac{72}{7},\,0\bigr). Observe que (0,0) é o polo original da equação polar, como deveria acontecer.

Passo 8

Encontrar os vértices: são os pontos x=x_0\pm a (eixo maior horizontal). Calculamos:
x_0 + a = -\frac{36}{7} + \frac{48}{7} = \frac{12}{7},
x_0 - a = -\frac{36}{7} - \frac{48}{7} = -\frac{84}{7} = -12.
Então os vértices são \bigl(\tfrac{12}{7},\,0\bigr) e (-12,\,0). Checagem rápida: para \theta=0 a equação polar dá r=\dfrac{3}{1+3/4}=\dfrac{3}{7/4}=\dfrac{12}{7}, que corresponde ao vértice à direita; para \theta=\pi temos r=\dfrac{3}{1-3/4}=\dfrac{3}{1/4}=12, que é o vértice à esquerda (-12,0). Tudo consistente.

Resposta

Vértices: \left(\tfrac{12}{7},\,0\right) e \left(-12,\,0\right)
Focos: \left(0,\,0\right) e \left(-\tfrac{72}{7},\,0\right)

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