Encontre o ponto da curva
que está mais próximo da origem.
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar o ponto da curva $ y = 4 - x^{2} $ que está mais próximo da origem. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de distância no plano cartesiano e otimização, usando um pouco de cálculo para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular a distância de um ponto qualquer $ (x, y) $ até a origem $ (0, 0) $. A fórmula para a distância $ D $ entre esses dois pontos é dada por:
No entanto, para facilitar os cálculos, podemos trabalhar com o quadrado da distância $ D^{2} $, que é:
Passo 3
Sabemos que a curva está definida por $ y = 4 - x^{2} $. Vamos substituir essa expressão na fórmula do quadrado da distância:
Agora, nossa função para minimizar é:
Passo 4
Para encontrar o valor de $ x $ que minimiza $ D^{2} $, vamos derivar $ D^{2} $ em relação a $ x $ e igualar a derivada a zero. Primeiro, vamos expandir $ (4 - x{2}){2} $:
Então, a função fica:
Agora, derivamos $ D^{2} $ em relação a $ x $:
Passo 5
Para encontrar os valores de $ x $ que minimizam $ D^{2} $, igualamos a derivada a zero:
Fatorando $ x $:
Isso nos dá duas soluções:
- $ x = 0 $
- $ 4x^{2} - 14 = 0 $ => $ x^{2} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} $ => $ x = \pm \sqrt{\frac{7}{2}} $
Passo 6
Agora, vamos verificar qual desses valores de $ x $ realmente fornece a distância mínima. Calculando a distância para cada ponto:
-
Para $ x = 0 $:Ponto: $ (0, 4) $
-
Para $ x = \sqrt{\frac{7}{2}} $:Ponto: $ \left(\sqrt{\frac{7}{2}}, \frac{1}{2}\right) $
-
Para $ x = -\sqrt{\frac{7}{2}} $:Ponto: $ \left(-\sqrt{\frac{7}{2}}, \frac{1}{2}\right) $
Comparando as distâncias, os pontos com $ x = \pm \sqrt{\frac{7}{2}} $ têm uma distância menor da origem do que o ponto $ (0, 4) $.
Resposta
Os pontos da curva $ y = 4 - x^{2} $ que estão mais próximos da origem são $ \left(\sqrt{\frac{7}{2}}, \frac{1}{2}\right) $ e $ \left(-\sqrt{\frac{7}{2}}, \frac{1}{2}\right) $.