Encontre o ponto da curva y(r)=4-x^2 que está mais próximo da origem.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar o ponto da curva $ y = 4 - x^{2} $ que está mais próximo da origem. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de distância no plano cartesiano e otimização, usando um pouco de cálculo para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular a distância de um ponto qualquer $ (x, y) $ até a origem $ (0, 0) $. A fórmula para a distância $ D $ entre esses dois pontos é dada por:
(x, y)
No entanto, para facilitar os cálculos, podemos trabalhar com o quadrado da distância $ D^{2} $, que é:
(0, 0)

Passo 3

Sabemos que a curva está definida por $ y = 4 - x^{2} $. Vamos substituir essa expressão na fórmula do quadrado da distância:
y = 4 - x^2
Agora, nossa função para minimizar é:
D^2 = x^2 + (4 - x^2)^2

Passo 4

Para encontrar o valor de $ x $ que minimiza $ D^{2} $, vamos derivar $ D^{2} $ em relação a $ x $ e igualar a derivada a zero. Primeiro, vamos expandir $ (4 - x{2}){2} $:
x
Então, a função fica:
D^2
Agora, derivamos $ D^{2} $ em relação a $ x $:
D^2

Passo 5

Para encontrar os valores de $ x $ que minimizam $ D^{2} $, igualamos a derivada a zero:
x
Fatorando $ x $:
D^2
Isso nos dá duas soluções:
  1. $ x = 0 $
  2. $ 4x^{2} - 14 = 0 $ => $ x^{2} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} $ => $ x = \pm \sqrt{\frac{7}{2}} $

Passo 6

Agora, vamos verificar qual desses valores de $ x $ realmente fornece a distância mínima. Calculando a distância para cada ponto:
  1. Para $ x = 0 $:
    x
    Ponto: $ (0, 4) $
    x = 0
  2. Para $ x = \sqrt{\frac{7}{2}} $:
    y = 4 - (0)^2 = 4
    Ponto: $ \left(\sqrt{\frac{7}{2}}, \frac{1}{2}\right) $
    (0, 4)
  3. Para $ x = -\sqrt{\frac{7}{2}} $:
    D^2 = 0^2 + 4^2 = 16
    Ponto: $ \left(-\sqrt{\frac{7}{2}}, \frac{1}{2}\right) $
    x = raiz72
Comparando as distâncias, os pontos com $ x = \pm \sqrt{\frac{7}{2}} $ têm uma distância menor da origem do que o ponto $ (0, 4) $.

Resposta

Os pontos da curva $ y = 4 - x^{2} $ que estão mais próximos da origem são $ \left(\sqrt{\frac{7}{2}}, \frac{1}{2}\right) $ e $ \left(-\sqrt{\frac{7}{2}}, \frac{1}{2}\right) $.

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