Utilize substituição por coordenadas esféricas para calcular
, onde
e
é delimitado pelo plano
e pelos hemisférios
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla de
sobre a região
limitada pelo plano
(ou seja,
) e pelos hemisférios definidos por
(raio 3) e
(raio 4). O conteúdo da matéria envolve mudança para coordenadas esféricas, em que a gente usa as fórmulas de transformação e o jacobiano para volume.
Passo 2
Em coordenadas esféricas adotamos as convenções
Passo 3
Para a região
temos: ρ varia de 3 a 4 (entre as duas esferas), φ varia de 0 a
(porque
) e θ varia de 0 a
.
Passo 4
Substituindo
e o jacobiano, a integral vira
Passo 5
Reagrupando e separando as integrais em produto de três integrandas:
Passo 6
Calculando cada parte: