Utilize substituição por coordenadas esféricas para calcular integral triplaB f(x, y, z) d V, onde
f(x, y, z)=x^2 e B é delimitado pelo plano x y e pelos hemisférios z=raiz9-x^2-y^2 e z=raiz16-x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla de f(x,y,z)=x^2 sobre a região B limitada pelo plano xy (ou seja, z>=0) e pelos hemisférios definidos por z=raiz9-x^2-y^2 (raio 3) e z=raiz16-x^2-y^2 (raio 4). O conteúdo da matéria envolve mudança para coordenadas esféricas, em que a gente usa as fórmulas de transformação e o jacobiano para volume.

Passo 2

Em coordenadas esféricas adotamos as convenções
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi, \nE o elemento de volume é
dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 3

Para a região B temos: ρ varia de 3 a 4 (entre as duas esferas), φ varia de 0 a pi/2 (porque z>=0) e θ varia de 0 a 2pi.

Passo 4

Substituindo x=rhosinphicostheta e o jacobiano, a integral vira
integral triplaB x^2,dV =integral0^2piintegral0^pi/2integral3^4(rhosinphicostheta)^2,(rho^2sinphi),drho,dphi,dtheta

Passo 5

Reagrupando e separando as integrais em produto de três integrandas:
=l(integral0^2picos^2theta,dthetar)l(integral0^pi/2sin^3phi,dphir)l(integral3^4rho^4,drhor)

Passo 6

Calculando cada parte:
  • integral3^4rho^4,drho=l[rho^55r]3^4=4^5-3^55=7815
  • integral0^pi/2sin^3phi,dphi=23
  • integral0^2picos^2theta,dtheta=pi

Resposta

1562pi15

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