Mostre por que uma esfera de raio
possui volume
.
Dica: perceba que
, onde
é a esfera de raio
.
Dica: perceba que
Passo 1
Vamos resolver o problema de mostrar que o volume de uma esfera de raio
é
. Para isso, vamos utilizar o conceito de integrais múltiplas, especificamente a integral tripla, que nos permite calcular volumes de regiões tridimensionais.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular o volume de uma esfera usando uma integral tripla. A esfera de raio
é definida como o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
. O volume
dessa esfera pode ser calculado integrando o elemento de volume
sobre toda a região da esfera.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos utilizar as coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, um ponto no espaço é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto à origem, -
é o ângulo polar (medido a partir do eixo ), -
é o ângulo azimutal (medido no plano a partir do eixo ).
Passo 4
O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Isso ocorre porque, nessa mudança de coordenadas, cada pequeno volume é escalonado por
.
Passo 5
Definimos os limites de integração para cobrir toda a esfera de raio
:
-
varia de a , -
varia de a , -
varia de a .
Passo 6
Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume
:
Passo 7
Vamos resolver a integral começando por
:
Passo 8
Em seguida, integramos em relação a
:
Passo 9
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
Multiplicando os resultados das três integrais, obtemos o volume da esfera: