Mostre por que uma esfera de raio c>0 possui volume V=43 pi c^3.
Dica: perceba que V=integral triplaB d V, onde B é a esfera de raio c.

Passo 1

Vamos resolver o problema de mostrar que o volume de uma esfera de raio c > 0 é V = 43 pi c^3. Para isso, vamos utilizar o conceito de integrais múltiplas, especificamente a integral tripla, que nos permite calcular volumes de regiões tridimensionais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular o volume de uma esfera usando uma integral tripla. A esfera de raio c é definida como o conjunto de pontos (x, y, z) que satisfazem a equação x^2 + y^2 + z^2 <= c^2. O volume V dessa esfera pode ser calculado integrando o elemento de volume dV sobre toda a região da esfera.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos utilizar as coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, um ponto no espaço é representado por (r, theta, phi), onde:
  • r é a distância do ponto à origem,
  • theta é o ângulo polar (medido a partir do eixo z),
  • phi é o ângulo azimutal (medido no plano xy a partir do eixo x).

Passo 4

O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
dV = r^2 sin theta , dr , dtheta , dphi
Isso ocorre porque, nessa mudança de coordenadas, cada pequeno volume é escalonado por r^2 sin theta.

Passo 5

Definimos os limites de integração para cobrir toda a esfera de raio c:
  • r varia de 0 a c,
  • theta varia de 0 a pi,
  • phi varia de 0 a 2pi.

Passo 6

Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume V:
V = integral0^2pi integral0^pi integral0^c r^2 sin theta , dr , dtheta , dphi

Passo 7

Vamos resolver a integral começando por r:
integral0^c r^2 , dr = [ r^33 ]0^c = c^33

Passo 8

Em seguida, integramos em relação a theta:
integral0^pi sin theta , dtheta = [ -cos theta ]0^pi = -cos pi + cos 0 = 2

Passo 9

Por fim, integramos em relação a phi:
integral0^2pi dphi = 2pi

Resposta

Multiplicando os resultados das três integrais, obtemos o volume da esfera:
V = c^33 times 2 times 2pi = 43 pi c^3

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