Resolva as integrais a seguir.
integral1^2[5^pi-3 z^2+z^-2+e^z+1z] d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: integral1^2[5^pi-3 z^2+z^-2+e^z+1z] dz. Aqui, vamos trabalhar com o cálculo de integrais, especificamente integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar integrar cada termo dentro dos colchetes separadamente e depois calcular o valor final usando os limites de integração, que são de 1 a 2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma soma é a soma das integrais. Então, podemos separar a integral original em integrais individuais:
integral1^2 5^pi , dz - integral1^2 3 z^2 , dz + integral1^2 z^-2 , dz + integral1^2 e^z , dz + integral1^2 1z , dz

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
  1. Integrar 5^pi:
Como 5^pi é uma constante, a integral será 5^pi times z.
integral 5^pi , dz = 5^pi z
  1. Integrar -3 z^2:
Usamos a regra da potência para integrais. A integral de z^n é z^n+1n+1.
integral -3 z^2 , dz = -3 times z^33 = -z^3
  1. Integrar z^-2:
Aplicando a regra da potência novamente.
integral z^-2 , dz = z^-1-1 = -1z
  1. Integrar e^z:
A integral de e^z é simplesmente e^z.
integral e^z , dz = e^z
  1. Integrar 1z:
A integral de 1z é o logaritmo natural de z.
integral 1z , dz = ln|z|

Passo 4

Agora, vamos colocar tudo junto e aplicar os limites de integração de 1 a 2.
[5^pi z - z^3 - 1z + e^z + ln|z|]1^2
Isso significa que vamos calcular a expressão acima para z = 2 e z = 1 e depois subtrair.

Passo 5

Calculando para z = 2:
5^pi times 2 - 2^3 - 12 + e^2 + ln(2)
Simplificando:
2 times 5^pi - 8 - 0,5 + e^2 + ln(2)
Calculando para z = 1:
5^pi times 1 - 1^3 - 11 + e^1 + ln(1)
Simplificando:
5^pi - 1 - 1 + e + 0 = 5^pi - 2 + e

Passo 6

Agora, subtraímos o valor em z = 1 do valor em z = 2:
(2 times 5^pi - 8 - 0,5 + e^2 + ln(2)) - (5^pi - 2 + e)
Simplificando:
2 times 5^pi - 8,5 + e^2 + ln(2) - 5^pi + 2 - e
5^pi - 6,5 + e^2 - e + ln(2)

Resposta

A integral integral1^2[5^pi-3 z^2+z^-2+e^z+1z] dz é igual a:
5^pi - 6,5 + e^2 - e + ln(2)

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