Encontrar o vetor tangente unitário às seguintes curvas, nos pontos indicados:
e)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o vetor tangente unitário à curva definida por no ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas vetoriais e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de que corresponde ao ponto . Sabemos que:
Multiplicando ambos os lados por 2, temos:
Essas igualdades são verdadeiras quando .
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da posição em relação a , que nos dará o vetor tangente:
Substituindo :
Passo 4
Para encontrar o vetor tangente unitário, precisamos normalizar o vetor . Primeiro, calculamos a magnitude desse vetor:
Em seguida, dividimos cada componente do vetor pela sua magnitude para obter o vetor unitário: