Encontrar o vetor tangente unitário às seguintes curvas, nos pontos indicados:
e) vec(r)(t) = (1/2 cos(t), 1/2 sen(t)) ; P0(raiz(2)/4, raiz(2)/4)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o vetor tangente unitário à curva definida por no ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas vetoriais e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de que corresponde ao ponto . Sabemos que:
Multiplicando ambos os lados por 2, temos:
Essas igualdades são verdadeiras quando .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da posição em relação a , que nos dará o vetor tangente:
Substituindo :

Passo 4

Para encontrar o vetor tangente unitário, precisamos normalizar o vetor . Primeiro, calculamos a magnitude desse vetor:
Em seguida, dividimos cada componente do vetor pela sua magnitude para obter o vetor unitário:

Resposta

O vetor tangente unitário no ponto é:

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