Uma forma líquida de penincilina fabricada por uma firma farmacêutica é vendida a granel a um preço de
por unidade. Se o custo total de produção (em reais) para
unidades for
e se a capacidade de produção da firma for de, no máximo, 30.000 unidades em um tempo especificado, quantas unidades de penincilina devem ser fabricadas e vendidas naquele tempo para maximizar o lucro?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma empresa que vende penicilina a R$200 por unidade. O custo total de produção para fabricar
unidades é dado pela função
. A empresa pode fabricar, no máximo, 30.000 unidades nesse período. Nosso objetivo aqui é descobrir quantas unidades a empresa deve produzir e vender para maximizar o lucro.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o lucro (
) é a diferença entre a receita total (
) e o custo total (
). A receita total é calculada multiplicando o preço por unidade pela quantidade vendida:
Então, a função do lucro fica:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão do lucro:
Passo 4
Para encontrar o valor de
que maximiza o lucro, precisamos encontrar o ponto onde a derivada da função lucro em relação a
é zero. Vamos calcular a derivada
:
Passo 5
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto crítico:
Passo 6
Encontramos que
unidades. Agora, precisamos verificar se esse valor está dentro da capacidade máxima de produção, que é de 30.000 unidades. Como 20.000 é menor que 30.000, está tudo certo.
Resposta
A empresa deve fabricar e vender 20.000 unidades de penicilina para maximizar o lucro nesse período.