Uma forma líquida de penincilina fabricada por uma firma farmacêutica é vendida a granel a um preço de R por unidade. Se o custo total de produção (em reais) para por unidade. Se o custo total de produção (em reais) para unidades for unidades for e se a capacidade de produção da firma for de, no máximo, 30.000 unidades em um tempo especificado, quantas unidades de penincilina devem ser fabricadas e vendidas naquele tempo para maximizar o lucro?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma empresa que vende penicilina a R$200 por unidade. O custo total de produção para fabricar unidades é dado pela função . A empresa pode fabricar, no máximo, 30.000 unidades nesse período. Nosso objetivo aqui é descobrir quantas unidades a empresa deve produzir e vender para maximizar o lucro.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o lucro ( ) é a diferença entre a receita total ( ) e o custo total ( ). A receita total é calculada multiplicando o preço por unidade pela quantidade vendida:
Então, a função do lucro fica:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão do lucro:

Passo 4

Para encontrar o valor de que maximiza o lucro, precisamos encontrar o ponto onde a derivada da função lucro em relação a é zero. Vamos calcular a derivada :

Passo 5

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto crítico:

Passo 6

Encontramos que unidades. Agora, precisamos verificar se esse valor está dentro da capacidade máxima de produção, que é de 30.000 unidades. Como 20.000 é menor que 30.000, está tudo certo.

Resposta

A empresa deve fabricar e vender 20.000 unidades de penicilina para maximizar o lucro nesse período.

Exercícios relacionados