Encontre
no ponto P dado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que faz parte do estudo de cálculo multivariável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada direcional. Ela nos dá a taxa de variação da função
em uma direção específica, representada pelo vetor
. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função
no ponto
e do vetor direção
.
Passo 3
Vamos começar calculando o gradiente
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
. Então, precisamos achar
e
.
Passo 4
Calcular
:
Usando a regra do quociente:
Passo 5
Calcular
:
Passo 6
Agora que temos as derivadas parciais, o gradiente
é:
Passo 7
Vamos calcular o gradiente no ponto
:
Passo 8
Sabemos que o vetor direção
já está normalizado (ou seja, tem comprimento 1). A derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor direção:
Passo 9
Vamos calcular esse produto escalar:
Resposta
A derivada direcional
no ponto
é: