Encontre Du f no ponto P dado:
f(x, y)=c x+d yx-y ; P(3,4) ; u=45 i+35 j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que faz parte do estudo de cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada direcional. Ela nos dá a taxa de variação da função em uma direção específica, representada pelo vetor . Para calcular isso, precisamos do gradiente da função no ponto e do vetor direção .

Passo 3

Vamos começar calculando o gradiente . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Então, precisamos achar e .

Passo 4

Calcular f(x, y) = c x + d yx - y :
partial fpartial x = (c)(x - y) - (c x + d y)(1)(x - y)^2 = c(x - y) - c x - d y(x - y)^2 = -c y - d y(x - y)^2 = -(c + d) y(x - y)^2
Usando a regra do quociente:

Passo 5

Calcular partial fpartial y = (d)(x - y) - (c x + d y)(-1)(x - y)^2 = d(x - y) + c x + d y(x - y)^2 = d x - d y + c x + d y(x - y)^2 = (c + d) x(x - y)^2 :

Passo 6

Agora que temos as derivadas parciais, o gradiente nabla f = ( -(c + d) y(x - y)^2, (c + d) x(x - y)^2 ) é:

Passo 7

Vamos calcular o gradiente no ponto nabla f(3, 4) = ( -(c + d) cdot 4(3 - 4)^2, (c + d) cdot 3(3 - 4)^2 ) = ( -(c + d) cdot 41, (c + d) cdot 31 ) = ( -4(c + d), 3(c + d) ) :

Passo 8

Sabemos que o vetor direção Du f = nabla f cdot u = (-4(c + d)) cdot 45 + (3(c + d)) cdot 35 já está normalizado (ou seja, tem comprimento 1). A derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor direção:

Passo 9

Vamos calcular esse produto escalar:
Du f = -16(c + d)5 + 9(c + d)5 = -16(c + d) + 9(c + d)5 = (-16 + 9)(c + d)5 = -7(c + d)5

Resposta

A derivada direcional Du f = -7(c + d)5 no ponto é:

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