Questão 13. Resolva os seguintes PVI y^prime & =2 xy+y x^2 y(2) & =3 ( Resp. y^2=9+2 ln |1+x^25|)

Passo 1

O enunciado dá um PVI com
y' = 2xy + yx^2 y(2) = 3
Isso é uma EDO de 1ª ordem separável: a ideia é isolar tudo que envolve y de um lado e x do outro para depois integrar.

Passo 2

Começo isolando as variáveis. Como y + yx^2 = y(1+x^2), temos
dydx = 2xy(1+x^2)
Multiplico ambos os lados por y e por dx:
y,dy = 2x1+x^2,dx

Passo 3

Agora integro os dois lados. Do lado esquerdo é direto, do direito uso substituição u = 1+x^2:
integral y,dy = integral 2x1+x^2,dx
y^22 = ln(1+x^2) + C
Multiplicando tudo por 2:
y^2 = 2ln(1+x^2) + C'

Passo 4

Determino a constante C' usando a condição inicial y(2)=3. Substituo x=2 e y=3:
9 = 2ln(1+2^2) + C' = 2ln(5) + C'
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C' = 9 - 2ln(5)

Passo 5

Substituindo C' de volta na solução geral, organizo o logaritmo:
y^2 = 2ln(1+x^2) + 9 - 2ln(5)
Uso propriedade de logaritmo para juntar:
y^2 = 9 + 2lnl(1+x^25r)

Resposta

y^2 = 9 + 2lnl|1+x^25r|

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