Encontre o ponto estacionário da função abaixo. Verifique a condição de segunda ordem através do Hessiano.
y=100-5 x1^2+50 x1-10 x2^2+25 x2-2 x1-4 x1-x2

Passo 1

Temos a função y = 100 - 5 x1^2 + 50 x1 - 10 x2^2 + 25 x2 - 2 x1 - 4 x1 - x2. O conteúdo é otimização de função de duas variáveis: vamos simplificar termos, usar derivadas parciais para achar o ponto onde o gradiente zera e depois verificar a natureza do ponto com o Hessiano.

Passo 2

Primeiro, somamos os termos lineares de x1 e de x2: 50 x1 -2 x1 -4 x1 = 44 x1 e 25 x2 - x2 = 24 x2. Então a função vira y = 100 -5 x1^2 +44 x1 -10 x2^2 +24 x2. Calculamos as derivadas parciais:
partial ypartial x1 = -10 x1 + 44, partial ypartial x2 = -20 x2 + 24

Passo 3

Igualamos cada derivada a zero para encontrar o ponto crítico:
-10 x1 + 44 = 0 ;Rightarrow; x1 = 4.4, -20 x2 + 24 = 0 ;Rightarrow; x2 = 1.2

Passo 4

Agora calculamos o Hessiano, que é a matriz das segundas derivadas:
H = partial^2 ypartial x1^2 & partial^2 ypartial x1partial x2[6pt] partial^2 ypartial x2partial x1 & partial^2 ypartial x2^2 = -10 & 0 0 & -20

Passo 5

Os autovalores de H são -10 e -20, ambos negativos, o que significa que H é definido negativo. Portanto o ponto crítico é um máximo local.

Resposta

O ponto estacionário é (x1, x2) = (4.4,,1.2) e, como o Hessiano
H = -10 & 0 0 & -20
é definido negativo, este ponto é um máximo local.

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