Encontre o ponto estacionário da função abaixo. Verifique a condição de segunda ordem através do Hessiano.
Passo 1
Temos a função . O conteúdo é otimização de função de duas variáveis: vamos simplificar termos, usar derivadas parciais para achar o ponto onde o gradiente zera e depois verificar a natureza do ponto com o Hessiano.
Passo 2
Primeiro, somamos os termos lineares de e de : e . Então a função vira . Calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
Igualamos cada derivada a zero para encontrar o ponto crítico:
Passo 4
Agora calculamos o Hessiano, que é a matriz das segundas derivadas:
Passo 5
Os autovalores de H são -10 e -20, ambos negativos, o que significa que H é definido negativo. Portanto o ponto crítico é um máximo local.
Resposta
O ponto estacionário é (x1, x2) = (4.4,,1.2) e, como o Hessiano
H = -10 & 0 0 & -20
é definido negativo, este ponto é um máximo local.