Seja
a parte da superfície
que se encontra dentro do cilindro
.
Seja
a fronteira de
orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Calcule
Seja
Passo 1
Resumo da questão: Temos uma superfície
definida por
, restrita dentro do cilindro
. A fronteira dessa superfície é a curva
, orientada no sentido anti-horário vista de cima. Precisamos calcular a integral de linha
Para resolver esse problema, vamos utilizar o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de linha a integrais de superfície envolvendo o rotacional de um campo vetorial.
Passo 2
Identificando o campo vetorial
: A integral de linha dada pode ser representada como
Para aplicar o Teorema de Stokes, precisamos calcular o rotacional de
, ou seja,
.
Passo 3
Calculando o rotacional de
:
Calculando cada componente:
Portanto, o rotacional é:
Passo 4
Parametrizando a superfície
: Como a superfície está dentro do cilindro
, é conveniente usar coordenadas polares. Vamos definir:
Onde
e
.
Passo 5
Calculando o vetor normal
: Para aplicar o Teorema de Stokes, precisamos do vetor normal à superfície
. A parametrização em coordenadas polares nos permite calcular:
Isso vem do fato de que, para
, os coeficientes do vetor normal são dados pelas derivadas parciais de
em relação a
e
, além do componente
.
Passo 6
Aplicando o Teorema de Stokes:
Substituindo os valores:
Então, a integral de superfície fica:
Em coordenadas polares:
Portanto:
Calculando as integrais:
Multiplicando os resultados:
Resposta
A integral
é igual a
.