Seja S a parte da superfície z=x y que se encontra dentro do cilindro x^2+y^2=4.
Seja C a fronteira de S orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Calcule
I=ointC cos (x^3) d x+x^33 d y+x y d z

Passo 1

Resumo da questão: Temos uma superfície S definida por z = x y, restrita dentro do cilindro x^2 + y^2 = 4. A fronteira dessa superfície é a curva C, orientada no sentido anti-horário vista de cima. Precisamos calcular a integral de linha
I = ointC cos (x^3) d x + x^33 d y + x y d z
Para resolver esse problema, vamos utilizar o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de linha a integrais de superfície envolvendo o rotacional de um campo vetorial.

Passo 2

Identificando o campo vetorial F: A integral de linha dada pode ser representada como
F = ( cos(x^3), x^33, x y )
Para aplicar o Teorema de Stokes, precisamos calcular o rotacional de F, ou seja, nabla times F.

Passo 3

Calculando o rotacional de F:
nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y )
Calculando cada componente:
partial F3partial y = partial (x y)partial y = x,
partial F2partial z = partial ( x^33 )partial z = 0,
partial F1partial z = partial cos(x^3)partial z = 0,
partial F3partial x = partial (x y)partial x = y,
partial F2partial x = partial ( x^33 )partial x = x^2,
partial F1partial y = partial cos(x^3)partial y = 0
Portanto, o rotacional é:
nabla times F = ( x, -y, x^2 )

Passo 4

Parametrizando a superfície S: Como a superfície está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 4, é conveniente usar coordenadas polares. Vamos definir:
x = r cos theta,
y = r sin theta,
z = x y = r^2 cos theta sin theta
Onde 0 <= r <= 2 e 0 <= theta <= 2pi.

Passo 5

Calculando o vetor normal n: Para aplicar o Teorema de Stokes, precisamos do vetor normal à superfície S. A parametrização em coordenadas polares nos permite calcular:
n , dS = ( -y, -x, 1 ) , r dr dtheta
Isso vem do fato de que, para z = x y, os coeficientes do vetor normal são dados pelas derivadas parciais de z em relação a x e y, além do componente z.

Passo 6

Aplicando o Teorema de Stokes:
I = ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Substituindo os valores:
(nabla times F) cdot n = (x, -y, x^2) cdot (-y, -x, 1) = -x y + x y + x^2 = x^2
Então, a integral de superfície fica:
I = integral duplaS x^2 , dS
Em coordenadas polares:
x^2 = r^2 cos^2 theta,
dS = r dr dtheta
Portanto:
I = integral0^2pi integral0^2 r^2 cos^2 theta cdot r , dr dtheta = integral0^2pi cos^2 theta , dtheta cdot integral0^2 r^3 , dr
Calculando as integrais:
integral0^2pi cos^2 theta , dtheta = pi,
integral0^2 r^3 , dr = 164 = 4
Multiplicando os resultados:
I = pi cdot 4 = 4pi

Resposta

A integral I é igual a 4pi.

Exercícios relacionados