Encontre o ponto estacionário da função abaixo. Verifique a condição de segunda ordem através do Hessiano.
y=2 x1^2+x1 x2+4 x2^2+x1 x3+x3^2+2

Passo 1

Nesse exercício, queremos achar o ponto estacionário da função
y = 2x1^2 + x1x2 + 4x2^2 + x1x3 + x3^2 + 2
O conteúdo envolvido é otimização sem restrições: primeiro vamos usar derivadas parciais para montar o sistema nabla f = 0, depois calcular o Hessiano H e verificar sua definitude para classificar o ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais para obter o gradiente:
partial fpartial x1 = 4x1 + x2 + x3,
partial fpartial x2 = x1 + 8x2,
partial fpartial x3 = x1 + 2x3
Assim, o sistema nabla f = 0 é:
4x1 + x2 + x3 = 0,
x1 + 8x2 = 0,
x1 + 2x3 = 0

Passo 3

Resolvendo o sistema: da segunda equação temos x1 = -8x2. Substituindo na terceira, -8x2 + 2x3 = 0 implica x3 = 4x2. Colocando esses em a primeira: 4(-8x2) + x2 + 4x2 = -27x2 = 0, logo x2 = 0. Daí x1 = 0 e x3 = 0.

Passo 4

Agora montamos o Hessiano calculando as segundas derivadas:
H = partial^2 fpartial x1^2 & partial^2 fpartial x1partial x2 & partial^2 fpartial x1partial x3 partial^2 fpartial x2partial x1 & partial^2 fpartial x2^2 & partial^2 fpartial x2partial x3 partial^2 fpartial x3partial x1 & partial^2 fpartial x3partial x2 & partial^2 fpartial x3^2 = 4 & 1 & 1 1 & 8 & 0 1 & 0 & 2

Passo 5

Para verificar se H é definida positiva, checamos os menores principais:
D1 = 4 > 0,
D2 = det4 & 1 1 & 8 = 31 > 0,
D3 = det(H) = 54 > 0
Como todos os menores principais são positivos, H é definida positiva, indicando que o ponto é um mínimo local.

Resposta

O ponto estacionário é (0,0,0) e o Hessiano definido positivo confirma que esse ponto é um mínimo local.

Exercícios relacionados