Encontre o ponto estacionário da função abaixo. Verifique a condição de segunda ordem através do Hessiano.
Passo 1
Nesse exercício, queremos achar o ponto estacionário da função
O conteúdo envolvido é otimização sem restrições: primeiro vamos usar derivadas parciais para montar o sistema , depois calcular o Hessiano e verificar sua definitude para classificar o ponto.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais para obter o gradiente:
Assim, o sistema é:
Passo 3
Resolvendo o sistema: da segunda equação temos . Substituindo na terceira, implica . Colocando esses em a primeira: , logo . Daí e .
Passo 4
Agora montamos o Hessiano calculando as segundas derivadas:
Passo 5
Para verificar se H é definida positiva, checamos os menores principais:
D1 = 4 > 0,
D2 = det4 & 1 1 & 8 = 31 > 0,
D3 = det(H) = 54 > 0
Como todos os menores principais são positivos, H é definida positiva, indicando que o ponto é um mínimo local.
Resposta
O ponto estacionário é (0,0,0) e o Hessiano definido positivo confirma que esse ponto é um mínimo local.