Resolva as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções. Para resolver isso, vamos precisar identificar quais partes da integral serão $ u $ e $ dv $ na fórmula de integração por partes:
Passo 2
Primeiro, vamos escolher qual parte da nossa integral será $ u $ e qual será $ dv $. Geralmente, escolhemos $ u $ como a função que se simplifica quando derivada. No nosso caso, temos $ \ln(x^{2} - x - 2) $, que é uma boa candidata para $ u $. Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar $ du $, a derivada de $ u $. Para derivar $ u $, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ \ln(f(x)) $ é $ \frac{f’(x)}{f(x)} $. Então:
Passo 4
Em seguida, determinamos $ dv $. Já que escolhemos $ u = \ln(x^{2} - x - 2) $, o que sobra para $ dv $ é apenas $ dx $:
Agora, precisamos encontrar $ v $ integrando $ dv $:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar a segunda integral:
Primeiro, vamos simplificar a fração:
Observamos que o denominador é igual ao numerador menos $ x $, ou seja:
No entanto, isso parece complicado, então vamos tentar outra abordagem. Vamos fazer a divisão polinomial ou simplificar de outra maneira.
Na verdade, podemos notar que o numerador $ 2x - 1 $ é a derivada do denominador $ x^{2} - x - 2 $, o que sugere uma substituição.
Passo 7
Vamos fazer uma substituição para resolver a integral:
Então, a derivada de $ w $ em relação a $ x $ é:
Isso simplifica a integral para:
No entanto, ainda precisamos expressar $ x $ em termos de $ w $, o que pode não ser direto. Então, vamos considerar uma decomposição diferente ou uma integração racional.
Passo 8
Vamos tentar reescrever a expressão $ \frac{2x - 1}{x^{2} - x - 2} $:
Observamos que $ x^{2} - x - 2 = (x - 2)(x + 1) $, então podemos fatorar o denominador:
Podemos usar frações parciais para dividir essa expressão:
Multiplicando ambos os lados por $ (x - 2)(x + 1) $:
Agora, vamos resolver para $ A $ e $ B $.
Passo 9
Escolhemos valores de $ x $ que simplificam a equação:
Para $ x = 2 $:
Para $ x = -1 $:
Então, temos:
Passo 10
Agora, voltando à nossa integral original:
Simplificando:
Passo 11
Vamos resolver as duas integrais separadamente:
Primeiro, para $ \frac{x}{x - 2} $:
Então:
Segundo, para $ \frac{x}{x + 1} $:
Então:
Passo 12
Agora, substituímos de volta na expressão original:
Simplificando:
Resposta
A integral resolvida é: