Resolva as integrais:
integral ln (x^2-x-2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral ln (x^2-x-2) dx. Aqui, estamos lidando com integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções. Para resolver isso, vamos precisar identificar quais partes da integral serão $ u $ e $ dv $ na fórmula de integração por partes:
u

Passo 2

Primeiro, vamos escolher qual parte da nossa integral será $ u $ e qual será $ dv $. Geralmente, escolhemos $ u $ como a função que se simplifica quando derivada. No nosso caso, temos $ \ln(x^{2} - x - 2) $, que é uma boa candidata para $ u $. Então, vamos definir:
u

Passo 3

Agora, precisamos encontrar $ du $, a derivada de $ u $. Para derivar $ u $, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ \ln(f(x)) $ é $ \frac{f’(x)}{f(x)} $. Então:
du

Passo 4

Em seguida, determinamos $ dv $. Já que escolhemos $ u = \ln(x^{2} - x - 2) $, o que sobra para $ dv $ é apenas $ dx $:
dv
Agora, precisamos encontrar $ v $ integrando $ dv $:
u = ln(x^2 - x - 2)

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral ln(x^2 - x - 2) , dx = x cdot ln(x^2 - x - 2) - integral x cdot 2x - 1x^2 - x - 2 , dx

Passo 6

Vamos simplificar a segunda integral:
integral x cdot 2x - 1x^2 - x - 2 , dx
Primeiro, vamos simplificar a fração:
x(2x - 1)x^2 - x - 2 = 2x^2 - xx^2 - x - 2
Observamos que o denominador é igual ao numerador menos $ x $, ou seja:
x
No entanto, isso parece complicado, então vamos tentar outra abordagem. Vamos fazer a divisão polinomial ou simplificar de outra maneira.
Na verdade, podemos notar que o numerador $ 2x - 1 $ é a derivada do denominador $ x^{2} - x - 2 $, o que sugere uma substituição.

Passo 7

Vamos fazer uma substituição para resolver a integral:
w = x^2 - x - 2
Então, a derivada de $ w $ em relação a $ x $ é:
w
Isso simplifica a integral para:
x
No entanto, ainda precisamos expressar $ x $ em termos de $ w $, o que pode não ser direto. Então, vamos considerar uma decomposição diferente ou uma integração racional.

Passo 8

Vamos tentar reescrever a expressão $ \frac{2x - 1}{x^{2} - x - 2} $:
Observamos que $ x^{2} - x - 2 = (x - 2)(x + 1) $, então podemos fatorar o denominador:
2x - 1x^2 - x - 2
Podemos usar frações parciais para dividir essa expressão:
x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)
Multiplicando ambos os lados por $ (x - 2)(x + 1) $:
2x - 1(x - 2)(x + 1)
Agora, vamos resolver para $ A $ e $ B $.

Passo 9

Escolhemos valores de $ x $ que simplificam a equação:
Para $ x = 2 $:
x
Para $ x = -1 $:
x = 2
Então, temos:
2(2) - 1 = A(2 + 1) + B(2 - 2) Rightarrow 4 - 1 = 3A + 0 Rightarrow A = 1

Passo 10

Agora, voltando à nossa integral original:
integral ln(x^2 - x - 2) , dx = x cdot ln(x^2 - x - 2) - integral x cdot ( 1x - 2 + 1x + 1 ) , dx
Simplificando:
= x cdot ln(x^2 - x - 2) - integral ( xx - 2 + xx + 1 ) , dx

Passo 11

Vamos resolver as duas integrais separadamente:
Primeiro, para $ \frac{x}{x - 2} $:
xx - 2
Então:
xx - 2 = 1 + 2x - 2
Segundo, para $ \frac{x}{x + 1} $:
integral xx - 2 , dx = integral (1 + 2x - 2) dx = x + 2 ln|x - 2| + C
Então:
xx + 1

Passo 12

Agora, substituímos de volta na expressão original:
integral ln(x^2 - x - 2) , dx = x cdot ln(x^2 - x - 2) - [ (x + 2 ln|x - 2|) + (x - ln|x + 1|) ] + C
Simplificando:
= x cdot ln(x^2 - x - 2) - x - 2 ln|x - 2| - x + ln|x + 1| + C
= x cdot ln(x^2 - x - 2) - 2x - 2 ln|x - 2| + ln|x + 1| + C

Resposta

A integral resolvida é:
integral ln (x^2-x-2) d x = x cdot ln(x^2 - x - 2) - 2x - 2 ln|x - 2| + ln|x + 1| + C

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