Encontre o ponto de inflexão da curva y=arcsen(1-x^21+x^2).

Passo 1

O enunciado pede o ponto de inflexão da curva
y = arcsen!gl(1 - x^21 + x^2gr)
O conteúdo é análise de concavidade e ponto de inflexão, ou seja, precisamos calcular a segunda derivada y'' e verificar onde ela se anula e muda de sinal.

Passo 2

Definimos
u(x) = 1 - x^21 + x^2,
de modo que y = arcsenl(u(x)r). Calculamos primeiro u'(x) por quociente:
u'(x) = (1 - x^2)' ,(1 + x^2) - (1 - x^2),(1 + x^2)'(1 + x^2)^2 = -2x,(1 + x^2) - (1 - x^2),2x(1 + x^2)^2 = -4x(1 + x^2)^2

Passo 3

Para a derivada de y usamos
y' = u'raiz1 - u^2
Observe que
1 - u^2 = 1 - (1 - x^2)^2(1 + x^2)^2 = (1 + x^2)^2 - (1 - x^2)^2(1 + x^2)^2 = 4x^2(1 + x^2)^2,
portanto
raiz1 - u^2 = 2,|x|1 + x^2
Logo, para xneq0,
y' = -4x/(1 + x^2)^22,|x|/(1 + x^2) = -2,x(1 + x^2),|x| = -dfrac21 + x^2, & x>0,[6pt] dfrac21 + x^2, & x<0 ]

Passo 4

Derivando novamente em cada ramo, obtemos para x>0:
y'' = ddxl(-tfrac21 + x^2r) = 4x(1 + x^2)^2,
e para x<0:
y'' = ddxl(tfrac21 + x^2r) = -4x(1 + x^2)^2 = 4|x|(1 + x^2)^2
Em resumo, para todo xneq0
y'' = 4,|x|(1 + x^2)^2 > 0

Passo 5

Como y''>0 para todo xneq0, a curva é estritamente côncava para cima em todas as regiões onde a derivada segunda existe, e não há mudança de sinal em y''. Portanto, não existe ponto de inflexão.

Resposta

A curva não possui ponto de inflexão.

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