Mostre que as funções são invertíveis e obtenha suas inversas:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é invertível e para encontrar
.
O conteúdo principal é trabalhar com valor absoluto de forma piecewise e usar monotonicidade para garantir invertibilidade.
O conteúdo principal é trabalhar com valor absoluto de forma piecewise e usar monotonicidade para garantir invertibilidade.
Passo 2
Vamos estudar os sinais das expressões dentro dos módulos em todo o domínio
.
- Para
: como em todo o intervalo, vale
- Para
: como para todo , vale
Logo, para qualquer
,
Passo 3
Como
é uma função afim com coeficiente angular
, ela é estritamente crescente em
.
Funções estritamente crescentes são injetivas, e como o domínio é compacto e é contínua, a imagem é um intervalo fechado. Portanto
é bijetiva de
em
, isto é, invertível.
Funções estritamente crescentes são injetivas, e como o domínio é compacto e
Passo 4
Calculamos a imagem de
avaliando nas extremidades:
Como
é contínua e estritamente crescente,
Passo 5
Para achar a inversa, seja
. Basta resolver para
:
Logo, para todo
,
Resposta
A função é invertível pois
é estritamente crescente em
.
A imagem é e
A imagem é