Mostre que as funções são invertíveis e obtenha suas inversas:
f:[-1,2] Im(f), f(x)=|x+1|-|x-2|.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f:[-1,2]toIm(f), f(x)=|x+1|-|x-2|
é invertível e para encontrar f^-1.
O conteúdo principal é trabalhar com valor absoluto de forma piecewise e usar monotonicidade para garantir invertibilidade.

Passo 2

Vamos estudar os sinais das expressões dentro dos módulos em todo o domínio xin[-1,2].
  1. Para |x+1|: como x+1>=-1+1=0 em todo o intervalo, vale
|x+1|=x+1,
  1. Para |x-2|: como x-2<=2-2=0 para todo x<=2, vale
|x-2|=-(x-2)=2-x,
Logo, para qualquer xin[-1,2],
f(x)=(x+1)-(2-x)=2x-1,

Passo 3

Como f(x)=2x-1 é uma função afim com coeficiente angular 2>0, ela é estritamente crescente em [-1,2].
Funções estritamente crescentes são injetivas, e como o domínio é compacto e f é contínua, a imagem é um intervalo fechado. Portanto f é bijetiva de [-1,2] em Im(f), isto é, invertível.

Passo 4

Calculamos a imagem de f avaliando nas extremidades:
f(-1)=2(-1)-1=-3, f(2)=2cdot2-1=3
Como f é contínua e estritamente crescente,
Im(f)=[-3,3]

Passo 5

Para achar a inversa, seja y=f(x)=2x-1. Basta resolver para x:
y=2x-1 Longrightarrow x=y+12
Logo, para todo yin[-3,3],
f^-1(y)=y+12

Resposta

A função é invertível pois f(x)=2x-1 é estritamente crescente em [-1,2].
A imagem é Im(f)=[-3,3] e
f^-1(y)=y+12, yin[-3,3]

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