Mostre que as funções são invertíveis e obtenha suas inversas:
f:[-1, infty) Im(f), f(x)=|x+1|-2,

Passo 1

O enunciado dá a função
f:[-1,infty)to Im(f),
f(x)=|x+1|-2,
e pede para mostrar que é invertível e encontrar f^-1. Vamos usar a definição de invertibilidade via monotonicidade (injeção) e resolver a equação y=f(x) para obter a inversa.

Passo 2

Como o domínio é [-1,infty), temos x+1>=0. Portanto
|x+1|=x+1
e assim
f(x)=x+1-2=x-1

Passo 3

A função g(x)=x-1 é estritamente crescente (coeficiente angular 1>0). Logo g é injetora em [-1,infty). Como f coincide com g no domínio, f também é injetora e, por definição, invertível em relação à sua imagem.

Passo 4

Para achar a imagem, calculamos o valor mínimo:
f(-1)=(-1)-1=-2,
e à medida que xtoinfty, f(x)=x-1toinfty. Portanto
Im(f)=[-2,infty)

Passo 5

Colocando y=f(x), isto é y=x-1, resolvemos para x:
x=y+1
Logo a inversa é
f^-1(y)=y+1,
com domínio Im(f)=[-2,infty).

Resposta

f^-1:[-2,infty)to[-1,infty), f^-1(x)=x+1

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