Mostre que as funções são invertíveis e obtenha suas inversas:
,
Passo 1
O enunciado dá a função
,
,
e pede para mostrar que é invertível e encontrar . Vamos usar a definição de invertibilidade via monotonicidade (injeção) e resolver a equação
para obter a inversa.
e pede para mostrar que é invertível e encontrar
Passo 2
Como o domínio é
, temos
. Portanto
e assim
Passo 3
A função
é estritamente crescente (coeficiente angular
). Logo
é injetora em
. Como
coincide com
no domínio,
também é injetora e, por definição, invertível em relação à sua imagem.
Passo 4
Para achar a imagem, calculamos o valor mínimo:
e à medida que
,
. Portanto
Passo 5
Colocando
, isto é
, resolvemos para
:
Logo a inversa é
com domínio
.