1. Um retângulo está inscrito em um círculo de raio igual a 5 dm . Se o comprimento do retângulo está diminuindo à razão de 2 dm / s, com que rapidez a área está variando, no instante em que o comprimento for de 6 dm ?

Passo 1

O enunciado descreve um retângulo inscrito num círculo de raio ,5,dm. Sejam ,x e ,y o comprimento e a largura do retângulo, e ,A=x,y a área. Como o retângulo é inscrito, a diagonal vale ,10,dm, logo
,x^2+y^2=100. Sabemos ,dxdt=-2,dm/s e queremos ,dAdt quando ,x=6,dm.

Passo 2

Para achar ,y nesse instante, use
x^2+y^2=100
com ,x=6, dando ,y^2=100-36=64 e portanto ,y=8,dm.

Passo 3

Diferenciando implicitamente
x^2+y^2=100
em relação ao tempo, obtemos
2x,dxdt+2y,dydt=0
Isolando ,dydt:
dydt =-xy,dxdt =-68cdot(-2) =32,dm/s

Passo 4

A área é ,A=x,y. Diferenciando em relação ao tempo:
dAdt =x,dydt+y,dxdt =6cdot32+8cdot(-2) =9-16 =-7,dm^2/s

Resposta

dAdt=-7,dm^2/s

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