Encontre o ponto de interseção entre as retas:
l r:(x, y, z)=(-17,13,-1)+tr(9,-5,2) e s:(x, y, z)=(9,19,15)+ts(2,4,3)
r cap s=(square, square, square)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o ponto onde duas retas se cruzam no espaço tridimensional. Para isso, vamos trabalhar com equações paramétricas de retas. Precisamos igualar as coordenadas das duas retas para achar os valores dos parâmetros que fazem elas se encontrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas de cada reta de forma clara. A reta r é dada por:
(x, y, z) = (-17, 13, -1) + tr cdot (9, -5, 2)
E a reta s é:
(x, y, z) = (9, 19, 15) + ts cdot (2, 4, 3)
Aqui, tr e ts são os parâmetros das retas r e s , respectivamente.

Passo 3

Agora, para encontrar o ponto de interseção, precisamos igualar as coordenadas correspondentes das duas retas. Isso significa que:
-17 + 9tr = 9 + 2ts (para x)
13 - 5tr = 19 + 4ts (para y)
-1 + 2tr = 15 + 3ts (para z)
Essas três equações formam um sistema linear que precisamos resolver para encontrar os valores de tr e ts .

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da equação de x :
-17 + 9tr = 9 + 2ts implies 9tr - 2ts = 26 (Equação 1) çã
Da equação de y :
13 - 5tr = 19 + 4ts implies -5tr - 4ts = 6 (Equação 2) çã
Da equação de z :
-1 + 2tr = 15 + 3ts implies 2tr - 3ts = 16 (Equação 3) çã
Agora temos três equações com duas incógnitas. Vamos usar a Equação 1 e a Equação 2 para eliminar uma variável. Multiplicando a Equação 1 por 5 e a Equação 2 por 9 para facilitar a eliminação:
45tr - 10ts = 130 (Equação 1 mu<iplicada por 5) çã
-45tr - 36ts = 54 (Equação 2 mu<iplicada por 9) çã
Somando as duas equações:
(45tr - 45tr) + (-10ts - 36ts) = 130 + 54 implies -46ts = 184 implies ts = -4
Agora que temos ts = -4 , substituímos na Equação 1 para encontrar tr :
9tr - 2(-4) = 26 implies 9tr + 8 = 26 implies 9tr = 18 implies tr = 2

Passo 5

Com os valores de tr = 2 e ts = -4 , substituímos de volta nas equações paramétricas para encontrar as coordenadas do ponto de interseção.
Para a reta r :
(x, y, z) = (-17, 13, -1) + 2 cdot (9, -5, 2) = (-17 + 18, 13 - 10, -1 + 4) = (1, 3, 3)
Para confirmar, vamos substituir na reta s :
(x, y, z) = (9, 19, 15) + (-4) cdot (2, 4, 3) = (9 - 8, 19 - 16, 15 - 12) = (1, 3, 3)
Os resultados coincidem, então o ponto de interseção é realmente esse.

Resposta

O ponto de interseção entre as retas r e s é (1, , 3, , 3) .

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