Em cada item, verifique se as retas dadas são reversas. Caso sejam, determine:
i. as equações cartesianas dos planos paralelos que as contêm,
ii. a distância entre elas,
iii. as equações paramétricas da reta perpendicular comum,
iv. as coordenadas dos pontos pertencentes às retas dadas e que realizam a distância.
a. r1:lx=1+t y=2+3 t ; z=4 t t in R e r2:lx=-1+s y=1+2 s z=-2+3 s ; s in R.
b. r1:lx=-1+3 t y=1+2 t z=t ; t in R e r2:lx=s y=2 s z=1-s ; s in R.

Passo 1

Temos dois pares de retas no espaço e queremos, para cada par, verificar se são reversas (não paralelas nem concorrentes) e, nesse caso, determinar:
  1. Duas equações de planos paralelos que contenham cada reta.
  2. A distância entre as retas.
  3. As equações paramétricas da reta perpendicular comum (o segmento de menor distância).
  4. As coordenadas dos pontos em cada reta que fazem essa distância mínima.
Para isso usamos:
– Vetores diretores d1 e d2.
– Produto vetorial n= d1times d2, que é normal aos planos paralelos e também à reta que une as retas (distância mínima).
– Fórmula da distância entre retas reversas:
dist = l| ncdot( P2- P1)r|| n|
– Posição dos pés M1 e M2 do perpendicular comum, obtida resolvendo as condições
l( P2 + s d2 - ( P1 + t d1)r)!cdot! d1=0 e análoga para d2.

Passo 2

Resolução do item (a).
As retas são
r1:; P1=(1,2,0),; d1=(1,3,4), r2:; P2=(-1,1,-2),; d2=(1,2,3)
  1. Verificamos que d1 e d2 não são múltiplos, logo não são paralelas.
    Tentando P1 + t d1 = P2 + s d2 achamos inconsistência no sistema, logo são reversas.
  2. Calculamos
n = d1 times d2 = (1,3,4)times(1,2,3) = (1,1,-1)
  1. Planos paralelos com normal n:
pi1:; ncdotl((x,y,z)-(1,2,0)r)=0 ;Longrightarrow; x+y-z-3=0
pi2:; ncdotl((x,y,z)-(-1,1,-2)r)=0 ;Longrightarrow; x+y-z-2=0
  1. Distância
dist =l| ncdot( P2- P1)r|| n| =|(1,1,-1)cdot(-2,-1,-2)|raiz1^2+1^2+(-1)^2 =1raiz3
  1. Para achar os pés M1in r1 e M2in r2 do perpendicular comum, definimos
a=( P2- P1)cdot d1=-13, b=( P2- P1)cdot d2=-10,
| d1|^2=26,;| d2|^2=14,; d1cdot d2=19,; D=26cdot14-19^2=3
Logo
t0=a,14 - b,19D=83, s0=a,19 - b,26D=133
Assim
M1= P1 + t0, d1 =l(tfrac113,,10,,tfrac323r), M2= P2 + s0, d2 =l(tfrac103,,tfrac293,,11r)
  1. A reta perpendicular comum tem direção n e passa por M1:
rperp:; x=113+lambda, y=10+lambda, z=323-lambda lambdain R

Passo 3

Resolução do item (b).
As retas são
r1:; P1=(-1,1,0),; d1=(3,2,1), r2:; P2=(0,0,1),; d2=(1,2,-1)
  1. d1 e d2 não são colineares e não intersectam (sistema inconsistente), logo são reversas.
  2. Produto vetorial
n= d1times d2 =(3,2,1)times(1,2,-1) =(-4,4,4)
  1. Planos paralelos com normal n:
pi1:; ncdotl((x,y,z)-(-1,1,0)r)=0 ;Longrightarrow; -,x+y+z-2=0,
pi2:; ncdotl((x,y,z)-(0,0,1)r)=0 ;Longrightarrow; -,x+y+z-1=0
  1. Distância
dist =l| ncdot( P2- P1)r|| n| =|(-4,4,4)cdot(1,-1,1)|raiz(-4)^2+4^2+4^2 =44raiz3 =1raiz3
  1. Calculando
a=( P2- P1)cdot d1=2, b=( P2- P1)cdot d2=-2,
| d1|^2=14,;| d2|^2=6,; d1cdot d2=6,; D=14cdot6-6^2=48,
t0=acdot6 - bcdot648=tfrac12, s0=acdot6 - bcdot1448=tfrac56
Assim
M1= P1 + tfrac12, d1 =l(tfrac12,,2,,tfrac12r), M2= P2 + tfrac56, d2 =l(tfrac56,,tfrac53,,tfrac16r)
  1. A reta perpendicular comum é
rperp:; x=tfrac12-4lambda, y=2+4lambda, z=tfrac12+4lambda lambdain R

Resposta

a)
i. pi1: x+y-z-3=0, pi2: x+y-z-2=0.
ii. dist=tfrac1raiz3.
iii. rperp:;x=tfrac113+lambda,;y=10+lambda,;z=tfrac323-lambda,;lambdain R
iv. M1=(tfrac113,10,tfrac323), M2=(tfrac103,tfrac293,11).
b)
i. pi1:-x+y+z-2=0, pi2:-x+y+z-1=0.
ii. dist=tfrac1raiz3.
iii. rperp:;x=tfrac12-4lambda,;y=2+4lambda,;z=tfrac12+4lambda,;lambdain R
iv. M1=(tfrac12,2,tfrac12), M2=(tfrac56,tfrac53,tfrac16).

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