Em cada item, verifique se as retas dadas são reversas. Caso sejam, determine:
i. as equações cartesianas dos planos paralelos que as contêm,
ii. a distância entre elas,
iii. as equações paramétricas da reta perpendicular comum,
iv. as coordenadas dos pontos pertencentes às retas dadas e que realizam a distância.
a. e r2:lx=-1+s y=1+2 s z=-2+3 s ; s in R.
b. r1:lx=-1+3 t y=1+2 t z=t ; t in R e r2:lx=s y=2 s z=1-s ; s in R.
Passo 1
Temos dois pares de retas no espaço e queremos, para cada par, verificar se são reversas (não paralelas nem concorrentes) e, nesse caso, determinar:
Duas equações de planos paralelos que contenham cada reta.
A distância entre as retas.
As equações paramétricas da reta perpendicular comum (o segmento de menor distância).
As coordenadas dos pontos em cada reta que fazem essa distância mínima.
Para isso usamos:
– Vetores diretores d1 e d2.
– Produto vetorial n= d1times d2, que é normal aos planos paralelos e também à reta que une as retas (distância mínima).
– Fórmula da distância entre retas reversas:
dist = l| ncdot( P2- P1)r|| n|
– Posição dos pés M1 e M2 do perpendicular comum, obtida resolvendo as condições l( P2 + s d2 - ( P1 + t d1)r)!cdot! d1=0 e análoga para d2.
Verificamos que d1 e d2 não são múltiplos, logo não são paralelas.
Tentando P1 + t d1 = P2 + s d2 achamos inconsistência no sistema, logo são reversas.
rperp:; x=tfrac12-4lambda, y=2+4lambda, z=tfrac12+4lambda lambdain R
Resposta
a)
i. pi1: x+y-z-3=0, pi2: x+y-z-2=0.
ii. dist=tfrac1raiz3.
iii. rperp:;x=tfrac113+lambda,;y=10+lambda,;z=tfrac323-lambda,;lambdain R
iv. M1=(tfrac113,10,tfrac323), M2=(tfrac103,tfrac293,11).
b)
i. pi1:-x+y+z-2=0, pi2:-x+y+z-1=0.
ii. dist=tfrac1raiz3.
iii. rperp:;x=tfrac12-4lambda,;y=2+4lambda,;z=tfrac12+4lambda,;lambdain R
iv. M1=(tfrac12,2,tfrac12), M2=(tfrac56,tfrac53,tfrac16).