Seja o triângulo de vértices A=(2,3,-6), B=(-4,-5,2) e C=(6,3,4). As equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do lado B C e pelo vértice A são dadas por:

Escolha uma opção:

a. \left\{\begin{aligned} x & =1+3 t \\\ \langle b r /\rangle y & =-1+6 t \\\ z & =3-7 t\end{aligned}\right.
b. \left\{\begin{aligned} x & =-1+7 t \\\ \langle b r /\rangle y & =-1+4 t \\\ z & =-2+6 t\end{aligned}\right.
\left\{\begin{aligned} x & =-1+9 t \\\ \langle b r /\rangle y & =-1+6 t \\\ z & =-2+8 t\end{aligned}\right.
\left\{\begin{aligned} x & =6-12 t \\\ \langle b r /\rangle y & =5-12 t \\\ z & =1-t\end{aligned}\right.
e. \left\{\begin{aligned} x & =1+t \\\ \langle b r /\rangle y & =-1+4 t \\\ z & =3-9 t\end{aligned}\right.
f. \left\{\begin{aligned} x & =4-8 t \\\ \langle b r /\rangle y & =3-8 t \\\ z & =-1+3 t\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo com vértices
A=(2,3,-6),\quad B=(-4,-5,2),\quad C=(6,3,4)
e pede as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do segmento BC e pelo vértice A. O conteúdo é geometria analítica espacial: para determinar uma reta basta um ponto e um vetor direção.

Passo 2

Calculamos o ponto médio M de BC pela fórmula
M=\frac{B+C}{2}=\biggl(\frac{-4+6}{2},\,\frac{-5+3}{2},\,\frac{2+4}{2}\biggr)=(1,-1,3).

Passo 3

O vetor direção \vec d da reta pode ser dado por \overrightarrow{MA} ou \overrightarrow{AM}. Usando \overrightarrow{MA}=A-M, temos
\vec d = (2-1,\;3-(-1),\;-6-3)=(1,4,-9).

Passo 4

Tomando M=(1,-1,3) como ponto de apoio e \vec d=(1,4,-9), as equações paramétricas são
\begin{cases} x = 1 + t,\\\ y = -1 + 4t,\\\ z = 3 - 9t. \end{cases}
Comparando com as alternativas, isso corresponde à letra (e).

Resposta

e. \displaystyle \left\{\begin{aligned}x &= 1 + t\y &= -1 + 4t\z &= 3 - 9t\end{aligned}\right.

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