Encontre o ponto de interseção entre as retas: r: X=(2,-4,-3)+\lambda(3,-2,6), \lambda \in \mathbb{R} e s: X=(1,2,-1)+t(-1,2,-1), t \in \mathbb{R}.
Escolha uma opção:
◯ a. (6,-8,4)
◯ b. (3,-2,1)
◯ c. (5,-6,3)
◯ d. (2,0,0)
◯ e. (4,-4,2)

Passo 1

O enunciado dá duas retas em forma paramétrica e pede o ponto de interseção (se houver). Informações fornecidas:
  • Reta r: \;X=(2,-4,-3)+\lambda(3,-2,6),\;\lambda\in\mathbb{R}.
  • Reta s: \;X=(1,2,-1)+t(-1,2,-1),\;t\in\mathbb{R}.
O que se pede: encontrar o ponto X que pertence simultaneamente a r e a s — isto é, o ponto de interseção — e escolher a alternativa correta entre as dadas.

Passo 2

Como cada reta está em forma paramétrica, um ponto X está na interseção se existir \lambda e t tais que as coordenadas sejam iguais. Escrevendo coordenada a coordenada, igualamos os vetores posição:
(2+3\lambda,\;-4-2\lambda,\;-3+6\lambda)=(1-t,\;2+2t,\;-1-t).
Isso gera o sistema de três equações em \lambda e t:
\begin{cases} 2+3\lambda = 1 - t,\\[4pt] -4-2\lambda = 2 + 2t,\\[4pt] -3+6\lambda = -1 - t. \end{cases}]

Passo 3

Vou reorganizar cada equação em forma linear padrão (tudo no LHS):
Da primeira equação:
2+3\lambda = 1 - t \quad\Longrightarrow\quad 3\lambda + t = -1.
Da segunda:
-4-2\lambda = 2 + 2t \quad\Longrightarrow\quad -2\lambda -2t = 6 \quad\Longrightarrow\quad \lambda + t = -3,
onde dividi por -2 para simplificar.
Da terceira:
-3+6\lambda = -1 - t \quad\Longrightarrow\quad 6\lambda + t = 2.
Agora o sistema é
\begin{cases} 3\lambda + t = -1,\\[4pt] \lambda + t = -3,\\[4pt] 6\lambda + t = 2. \end{cases}]

Passo 4

Resolvo o sistema por eliminação. Subtraio a segunda equação da primeira para eliminar t:
(3\lambda + t) - (\lambda + t) = -1 - (-3) \quad\Longrightarrow\quad 2\lambda = 2 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = 1.
Com \lambda=1, uso a segunda equação \lambda + t = -3 para obter t:
1 + t = -3 \quad\Longrightarrow\quad t = -4.

Passo 5

Verifico consistência usando a terceira equação: 6\lambda + t = 6\cdot 1 + (-4) = 2, que coincide com o lado direito da terceira equação. Assim o sistema é consistente e \lambda=1,\\ t=-4 é solução.

Passo 6

Agora calculo o ponto de interseção substituindo \lambda=1 em r (poderia usar s também, dará o mesmo resultado):
X_r = (2+3\cdot 1,\; -4-2\cdot 1,\; -3+6\cdot 1) = (5,\;-6,\;3).

Resposta

c. (5,-6,3)

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