Seja o triângulo de vértices A=(4,5,-4), B=(-6,-7,0) e C=(8,5,6). As equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do lado B C e pelo vértice A são dadas por:
Escolla uma opção:
◯ a. \left\{\begin{aligned} x & =1+t \\\ \langle b r\rangle y & =-1+4 t \\\ z & =3-9 t\end{aligned}\right.
◯ b. \left\{\begin{aligned} x & =-1+9 t \\\ \langle b r\rangle y & =-1+6 t \\\ z & =-2+8 t\end{aligned}\right.
◯ c. \left\{\begin{aligned} x & =4-8 t \\\ \langle b r\rangle y & =3-8 t \\\ z & =-1+3 t\end{aligned}\right.
◯ d. \left\{\begin{aligned} x & =1+3 t \\\ \langle b r\rangle y & =-1+6 t \\\ z & =3-7 t\end{aligned}\right.
◯ e. \left\{\begin{aligned} x & =-1+7 t \\\ \langle b r\rangle y & =-1+4 t \\\ z & =-2+6 t\end{aligned}\right.
◯ f. \left\{\begin{aligned} x & =6-12 t \\\ \langle b r\rangle y & =5-12 t \\\ z & =1-t\end{aligned}\right.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados os vértices do triângulo:
    • A=(4,5,-4)
    • B=(-6,-7,0)
    • C=(8,5,6)
  • O enunciado pede as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do lado BC e pelo vértice A.
    Ou seja, primeiro preciso encontrar o ponto médio de BC e depois escrever a reta que passa por esse ponto médio e por A.

Passo 2

Como calcular o ponto médio de um segmento no espaço (fórmula e explicação curta).
  • Regra do ponto médio: o ponto médio M entre dois pontos P_1=(x_1,y_1,z_1) e P_2=(x_2,y_2,z_2) tem coordenadas
M=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\;\dfrac{y_1+y_2}{2},\;\dfrac{z_1+z_2}{2}\right).
  • Aplicando isso a B e C:
B+ C = (-6, -7, 0) + (8, 5, 6) = (2, -2, 6).
M_{BC}=\left(\dfrac{2}{2},\dfrac{-2}{2},\dfrac{6}{2}\right)=(1,-1,3).
Portanto o ponto médio de BC é M=(1,-1,3).

Passo 3

Como escrever a equação paramétrica de uma reta que passa por dois pontos (forma e significado).
  • Se uma reta passa por um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) e tem vetor diretor \vec{v}=(v_x,v_y,v_z), então as equações paramétricas da reta são
x = x_0 + t\,v_x,\qquad y = y_0 + t\,v_y,\qquad z = z_0 + t\,v_z,
onde t é o parâmetro real. Aqui P_0 fixa um ponto da reta e \vec{v} dá a direção (sentido e razão de variação).
  • Se a reta passa por dois pontos P_0 e P_1, pode-se escolher \vec{v}=P_1-P_0 (subtração coordenada a coordenada).

Passo 4

Determinar o vetor diretor da reta que liga A a M e escrever a forma paramétrica usando A como ponto de passagem.
  • Vetor diretor (vou usar \vec{d}=M-A):
\vec{d}=M-A=(1-4,\; -1-5,\; 3-(-4)) = (-3,\,-6,\,7).
Interpretação: ao variar o parâmetro t em 1 unidade, x diminui 3, y diminui 6 e z aumenta 7.
  • Escrevendo a reta usando o ponto A=(4,5,-4) e \vec{d}:
x = 4 - 3t,\qquad y = 5 - 6t,\qquad z = -4 + 7t.
Isso já é uma equação paramétrica correta da reta em questão. Observação importante: a mesma reta pode ser escrita com outro ponto base (por exemplo M) e/ou com o vetor diretor multiplicado por -1 ou por uma constante não nula — ainda descreve a mesma reta, porque é só uma reparametrização.

Passo 5

Comparar a equação que obtivemos com as opções dadas (estratégia de verificação limpa).
  • Minha equação (forma encontrada):
x = 4 - 3t,\qquad y = 5 - 6t,\qquad z = -4 + 7t.
  • Uma forma alternativa é usar o ponto médio M=(1,-1,3) como ponto base. Se escrevemos a reta a partir de M com vetor diretor oposto -\vec{d}=(3,6,-7), obtemos
x = 1 + 3s,\qquad y = -1 + 6s,\qquad z = 3 - 7s,
onde mudei o parâmetro para s. Essa é a mesma reta: trocar t por 1-s por exemplo desloca o parâmetro (não importa, é a mesma linha geométrica).
  • Agora olho nas alternativas. A alternativa (d) é
x = 1 + 3t,\qquad y = -1 + 6t,\qquad z = 3 - 7t.
Isso coincide exatamente com a forma que escrevi usando M e -\vec{d}.

Passo 6

Verificações rápidas para garantir que (d) realmente descreve a mesma reta (checar ponto e direção).
  • Ponto: para t=0 na alternativa (d) obtém-se (1,-1,3)=M — corresponde ao ponto médio correto (confirma que a reta passa por M).
  • Direção: o vetor diretor da alternativa (d) é (3,6,-7), que é -1 vezes o vetor (-3,-6,7) que eu encontrei. Vetores proporcionais (mesma reta, sentido oposto) representam a mesma reta.
  • Checagem extra: escolher t=1 na alternativa (d) dá (1+3, -1+6, 3-7) = (4,5,-4)=A. Ou seja, essa parametrização atinge também A (como deve). Portanto (d) é definitivamente a resposta correta.

Resposta

(d)

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