Seja o triângulo de vértices A=(4,5,-4), B=(-6,-7,0) e C=(8,5,6). As equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do lado B C e pelo vértice A são dadas por:
Escolla uma opção:
◯ a. \left\{\begin{aligned} x & =1+t \\\ \langle b r\rangle y & =-1+4 t \\\ z & =3-9 t\end{aligned}\right.
◯ b. \left\{\begin{aligned} x & =-1+9 t \\\ \langle b r\rangle y & =-1+6 t \\\ z & =-2+8 t\end{aligned}\right.
◯ c. \left\{\begin{aligned} x & =4-8 t \\\ \langle b r\rangle y & =3-8 t \\\ z & =-1+3 t\end{aligned}\right.
◯ d. \left\{\begin{aligned} x & =1+3 t \\\ \langle b r\rangle y & =-1+6 t \\\ z & =3-7 t\end{aligned}\right.
◯ e. \left\{\begin{aligned} x & =-1+7 t \\\ \langle b r\rangle y & =-1+4 t \\\ z & =-2+6 t\end{aligned}\right.
◯ f. \left\{\begin{aligned} x & =6-12 t \\\ \langle b r\rangle y & =5-12 t \\\ z & =1-t\end{aligned}\right.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados os vértices do triângulo:
A=(4,5,-4)
B=(-6,-7,0)
C=(8,5,6)
O enunciado pede as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do lado BC e pelo vértice A.
Ou seja, primeiro preciso encontrar o ponto médio de BC e depois escrever a reta que passa por esse ponto médio e por A.
Passo 2
Como calcular o ponto médio de um segmento no espaço (fórmula e explicação curta).
Regra do ponto médio: o ponto médio M entre dois pontos P_1=(x_1,y_1,z_1) e P_2=(x_2,y_2,z_2) tem coordenadas
Interpretação: ao variar o parâmetro t em 1 unidade, x diminui 3, y diminui 6 e z aumenta 7.
Escrevendo a reta usando o ponto A=(4,5,-4) e \vec{d}:
x = 4 - 3t,\qquad y = 5 - 6t,\qquad z = -4 + 7t.
Isso já é uma equação paramétrica correta da reta em questão. Observação importante: a mesma reta pode ser escrita com outro ponto base (por exemplo M) e/ou com o vetor diretor multiplicado por -1 ou por uma constante não nula — ainda descreve a mesma reta, porque é só uma reparametrização.
Passo 5
Comparar a equação que obtivemos com as opções dadas (estratégia de verificação limpa).
Minha equação (forma encontrada):
x = 4 - 3t,\qquad y = 5 - 6t,\qquad z = -4 + 7t.
Uma forma alternativa é usar o ponto médio M=(1,-1,3) como ponto base. Se escrevemos a reta a partir de M com vetor diretor oposto -\vec{d}=(3,6,-7), obtemos
x = 1 + 3s,\qquad y = -1 + 6s,\qquad z = 3 - 7s,
onde mudei o parâmetro para s. Essa é a mesma reta: trocar t por 1-s por exemplo desloca o parâmetro (não importa, é a mesma linha geométrica).
Agora olho nas alternativas. A alternativa (d) é
x = 1 + 3t,\qquad y = -1 + 6t,\qquad z = 3 - 7t.
Isso coincide exatamente com a forma que escrevi usando M e -\vec{d}.
Passo 6
Verificações rápidas para garantir que (d) realmente descreve a mesma reta (checar ponto e direção).
Ponto: para t=0 na alternativa (d) obtém-se (1,-1,3)=M — corresponde ao ponto médio correto (confirma que a reta passa por M).
Direção: o vetor diretor da alternativa (d) é (3,6,-7), que é -1 vezes o vetor (-3,-6,7) que eu encontrei. Vetores proporcionais (mesma reta, sentido oposto) representam a mesma reta.
Checagem extra: escolher t=1 na alternativa (d) dá (1+3, -1+6, 3-7) = (4,5,-4)=A. Ou seja, essa parametrização atinge também A (como deve). Portanto (d) é definitivamente a resposta correta.