Encontre um ponto P do eixo das abscissas que pertence ao plano passando pelos pontos A(1,1,1), B(0,-2,3) e C(4,1,-1).
Passo 1
O enunciado pede para encontrar um ponto P do eixo das abscissas (ou seja, um ponto com coordenadas da forma (x,0,0)) que pertence ao plano que passa pelos pontos A(1,1,1), B(0,-2,3) e C(4,1,-1).
Dados fornecidos:
A=(1,1,1),\qquad B=(0,-2,3),\qquad C=(4,1,-1).
Pergunta clara: determinar as coordenadas do ponto P da forma (x,0,0) que está no plano determinado por A,B,C.
Passo 2
Vou usar vetores para descrever o plano e encontrar a sua equação. Ideia principal (explicada com calma): um plano pode ser descrito por um vetor normal \mathbf{n} (um vetor perpendicular ao plano) e um ponto nele. Se conhecemos \mathbf{n} e um ponto A, a equação do plano é
\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{A})=0,
onde \mathbf{r}=(x,y,z) é um ponto genérico. Para obter \mathbf{n} usaremos o produto vetorial (cross product) entre dois vetores que estão no plano, por exemplo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. Vou explicar cada conceito enquanto aplico.
Passo 3
Calcular os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. Lembre que \overrightarrow{PQ}=Q-P coordenada a coordenada.
Interpretação: esses dois vetores estão no plano porque ligam pontos do plano.
Passo 4
Explicar e calcular o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. O produto vetorial de dois vetores em \mathbb{R}^3 dá um vetor perpendicular a ambos; suas componentes são dadas por
Breve comentário pedagógico: qualquer múltiplo não nulo de \mathbf{n} também seria um normal válido; aqui escolhemos (6,4,9) tal qual saiu do cálculo.
Passo 5
Montar a equação do plano usando \mathbf{n} e o ponto A. A equação vetorial \mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{A})=0 expande para uma equação cartesiana. Com \mathbf{n}=(6,4,9) e A=(1,1,1):
(6,4,9)\cdot(x-1,y-1,z-1)=0.
Calculando o produto escalar e simplificando:
6(x-1)+4(y-1)+9(z-1)=0
6x-6+4y-4+9z-9=0
6x+4y+9z-19=0.
Portanto a equação do plano é
6x+4y+9z=19.
Passo 6
Agora impomos que P está no eixo das abscissas, isto é, P=(x,0,0). Substituímos y=0 e z=0 na equação do plano para achar x:
6x+4\cdot 0+9\cdot 0=19
6x=19
x=\frac{19}{6}.
Assim o ponto procurado é
P=\left(\frac{19}{6},0,0\right).
Pequena verificação mental: substituindo essas coordenadas na equação do plano dá 6\cdot\frac{19}{6}=19, OK.