Encontre o ponto
no plano
que esteja mais próximo à origem.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão nos pede para encontrar o ponto
que está no plano
e que está mais próximo da origem (o ponto
). Estamos trabalhando com Geometria Analítica, e vamos precisar usar a fórmula da distância entre um ponto e um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância entre um ponto
e um plano da forma
. A fórmula é:
Essa fórmula nos dá a menor distância entre o ponto e o plano.
Passo 3
No nosso caso, o ponto de interesse é a origem
, e o plano é
. Vamos identificar os coeficientes:
Passo 4
Vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
Então, a distância mínima entre a origem e o plano é
.
Passo 5
Agora, para encontrar as coordenadas do ponto
mais próximo da origem no plano, sabemos que esse ponto está na direção perpendicular ao plano a partir da origem. A direção perpendicular ao plano é dada pelo vetor normal ao plano, que é
.
Passo 6
Podemos expressar as coordenadas de
como múltiplos desse vetor normal. Ou seja:
Passo 7
Como
está no plano
, vamos substituir
,
e
na equação do plano:
Passo 8
Agora, substituímos
de volta nas coordenadas de
:
Resposta
O ponto
no plano
que está mais próximo da origem é
.