Encontre o ponto P(x, y, z) no plano 2 x+y-z-5=0 que esteja mais próximo à origem.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão nos pede para encontrar o ponto que está no plano e que está mais próximo da origem (o ponto ). Estamos trabalhando com Geometria Analítica, e vamos precisar usar a fórmula da distância entre um ponto e um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância entre um ponto d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 e um plano da forma . A fórmula é:
Essa fórmula nos dá a menor distância entre o ponto e o plano.

Passo 3

No nosso caso, o ponto de interesse é a origem , e o plano é . Vamos identificar os coeficientes:

Passo 4

Vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
d = |2 cdot 0 + 1 cdot 0 - 1 cdot 0 - 5|raiz2^2 + 1^2 + (-1)^2 = |-5|raiz4 + 1 + 1 = 5raiz6
Então, a distância mínima entre a origem e o plano é .

Passo 5

Agora, para encontrar as coordenadas do ponto mais próximo da origem no plano, sabemos que esse ponto está na direção perpendicular ao plano a partir da origem. A direção perpendicular ao plano é dada pelo vetor normal ao plano, que é .

Passo 6

Podemos expressar as coordenadas de P = k cdot n = k(2, 1, -1) = (2k, k, -k) como múltiplos desse vetor normal. Ou seja:

Passo 7

Como 2(2k) + k - (-k) - 5 = 0 4k + k + k - 5 = 0 6k - 5 = 0 6k = 5 k = 56 está no plano , vamos substituir , e na equação do plano:

Passo 8

Agora, substituímos x = 2k = 2 cdot 56 = 106 = 53 y = k = 56 z = -k = -56 de volta nas coordenadas de :

Resposta

O ponto no plano que está mais próximo da origem é .

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