seja
uma função contínua assumindo valores irracionais e
. Mostre que
.
Passo 1
A gente tem uma função contínua
que só assume valores irracionais e, além disso,
. Para mostrar que
para todo
, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) e a densidade dos números racionais.
Passo 2
Escolho um ponto arbitrário
e suponho, buscando contradição, que
.
Passo 3
Pela continuidade de
, o TVI garante que ela atinge todos os valores entre
e
. Como os racionais são densos em
, existe um racional
estritamente entre
e
. Então há algum
tal que
, mas isso entra em conflito com a hipótese de que
só assume irracionais.
Passo 4
A contradição mostra que não pode existir
com
. Logo, necessariamente
para todo
, ou seja,
é constante igual a
.