(2.0 p) seja f:[0,1] R uma função contínua assumindo valores irracionais e f(0)=raiz2. Mostre que f(x)=raiz2, forall x in[0,1].

Passo 1

A gente tem uma função contínua f:[0,1]toR que só assume valores irracionais e, além disso, f(0)=raiz2. Para mostrar que f(x)=raiz2 para todo x, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) e a densidade dos números racionais.

Passo 2

Escolho um ponto arbitrário cin[0,1] e suponho, buscando contradição, que f(c)neqraiz2.

Passo 3

Pela continuidade de f, o TVI garante que ela atinge todos os valores entre f(0)=raiz2 e f(c). Como os racionais são densos em R, existe um racional r estritamente entre raiz2 e f(c). Então há algum x^*in[0,1] tal que f(x^*)=r, mas isso entra em conflito com a hipótese de que f só assume irracionais.

Passo 4

A contradição mostra que não pode existir c com f(c)neqraiz2. Logo, necessariamente f(c)=raiz2 para todo cin[0,1], ou seja, f é constante igual a raiz2.

Resposta

f(x)=raiz2 para todo xin[0,1].

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