Encontre o ponto do plano
mais próximo da origem do sistema cartesiano.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto no plano definido pela equação
que está mais próximo da origem do sistema cartesiano. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especialmente sobre planos e distância entre pontos e planos. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da distância de um ponto a um plano e entender um pouco sobre vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância de um ponto
até um plano dado pela equação
. A fórmula é:
No nosso caso, a origem tem coordenadas
e o plano é
. Então,
,
,
e
.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula para encontrar a distância da origem ao plano:
Essa é a menor distância da origem ao plano. Agora, queremos encontrar o ponto no plano que está exatamente nessa distância da origem.
Passo 4
O ponto mais próximo da origem no plano está alinhado com o vetor normal ao plano. O vetor normal é dado pelos coeficientes de
,
e
na equação do plano, ou seja,
.
Para encontrar o ponto
mais próximo da origem, usamos a seguinte relação:
Onde
é um escalar que vamos determinar.
Passo 5
Como o ponto
está no plano, ele satisfaz a equação
. Substituindo
na equação do plano:
Passo 6
Agora que encontramos
, substituímos de volta para achar as coordenadas do ponto
:
Resposta
O ponto no plano
mais próximo da origem é
.