Encontre o ponto do plano 2 x+y+z=1 mais próximo da origem do sistema cartesiano.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto no plano definido pela equação que está mais próximo da origem do sistema cartesiano. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especialmente sobre planos e distância entre pontos e planos. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da distância de um ponto a um plano e entender um pouco sobre vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância de um ponto Distância = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 até um plano dado pela equação . A fórmula é:
â
No nosso caso, a origem tem coordenadas e o plano é . Então, , , e .

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula para encontrar a distância da origem ao plano:
Distância = |2 cdot 0 + 1 cdot 0 + 1 cdot 0 - 1|raiz2^2 + 1^2 + 1^2 = 1raiz4 + 1 + 1 = 1raiz6 â
Essa é a menor distância da origem ao plano. Agora, queremos encontrar o ponto no plano que está exatamente nessa distância da origem.

Passo 4

O ponto mais próximo da origem no plano está alinhado com o vetor normal ao plano. O vetor normal é dado pelos coeficientes de P = lambda cdot n , e na equação do plano, ou seja, .
Para encontrar o ponto mais próximo da origem, usamos a seguinte relação:
Onde é um escalar que vamos determinar.

Passo 5

Como o ponto 2(2lambda) + (1lambda) + (1lambda) = 1 4lambda + lambda + lambda = 1 6lambda = 1 lambda = 16 está no plano, ele satisfaz a equação . Substituindo na equação do plano:

Passo 6

Agora que encontramos x = 2 cdot 16 = 13 y = 1 cdot 16 = 16 z = 1 cdot 16 = 16 , substituímos de volta para achar as coordenadas do ponto :

Resposta

O ponto no plano mais próximo da origem é .

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