Encontre o ponto sobre a curva y=\sqrt{x+1} que está mais próximo do ponto (1,0).

Passo 1

O que o problema dá e o que ele pede:
  • Dá a curva y=\sqrt{x+1}.
  • Dá o ponto fixo (1,0).
  • Pede: encontrar o ponto sobre a curva que está mais próximo do ponto (1,0).
  • Observação importante que vem do enunciado: a raiz exige x+1\ge0, logo o domínio da curva é x\ge-1.

Passo 2

Como medir “mais próximo”: usamos a distância euclidiana entre um ponto genérico da curva e o ponto dado. Um ponto genérico na curva é \bigl(x,\sqrt{x+1}\bigr) com x\ge-1. A distância entre esse ponto e (1,0) é
d(x)=\sqrt{(x-1)^{2}+\bigl(\sqrt{x+1}-0\bigr)^{2}}.
Para facilitar os cálculos vamos minimizar o quadrado da distância (porque minimizar d ou d^{2} leva ao mesmo ponto e evita a raiz):
D(x)=d(x)^{2}=(x-1)^{2}+\bigl(\sqrt{x+1}\bigr)^{2}.

Passo 3

Simplificar D(x) é direto: a segunda parcela é simplesmente x+1. Então
D(x)=(x-1)^{2}+x+1.
Desenvolvendo o quadrado:
(x-1)^{2}=x^{2}-2x+1,
portanto
D(x)=x^{2}-2x+1 + x+1 = x^{2}-x+2.
Aqui D(x) está definida para x\ge-1. Note que D(x) é um polinômio (uma parábola).

Passo 4

Agora encontramos o ponto onde D(x) é mínimo no domínio. Usamos cálculo: derivada de D em relação a x,
D'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-x+2\bigr)=2x-1.
Os pontos críticos satisfazem D'(x)=0, então
2x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{1}{2}.
Esse x=\tfrac{1}{2} está no domínio x\ge-1, então é candidato.

Passo 5

Verificar que é mínimo: a segunda derivada é
D''(x)=\frac{d}{dx}(2x-1)=2>0.
Como D''(x)>0 para todo x, a função é côncava para cima e o ponto crítico é de fato um mínimo global (no domínio real); portanto x=\tfrac{1}{2} minimiza D em x\ge-1.

Passo 6

Calcular a ordenada correspondente na curva:
y=\sqrt{x+1}=\sqrt{\tfrac{1}{2}+1}=\sqrt{\tfrac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}.
Assim o ponto da curva mais próximo de (1,0) é
\left(\tfrac{1}{2},\frac{\sqrt{6}}{2}\right).

Passo 7

(cheque rápido) Valor mínimo da distância ao quadrado:
D\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}-\tfrac{1}{2}+2=\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}+2=\tfrac{7}{4},
logo a distância mínima é \sqrt{\tfrac{7}{4}}=\tfrac{\sqrt{7}}{2}. Isso confirma que o ponto encontrado dá uma distância menor que, por exemplo, a distância no limite x=-1 (que seria 2).

Resposta

\left(\tfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right)

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