Encontre o ponto sobre a curva
que está mais próximo do ponto
.
Passo 1
O que o problema dá e o que ele pede:
- Dá a curva
. - Dá o ponto fixo
. - Pede: encontrar o ponto sobre a curva que está mais próximo do ponto
. - Observação importante que vem do enunciado: a raiz exige
, logo o domínio da curva é .
Passo 2
Como medir “mais próximo”: usamos a distância euclidiana entre um ponto genérico da curva e o ponto dado. Um ponto genérico na curva é
com
. A distância entre esse ponto e
é
Para facilitar os cálculos vamos minimizar o quadrado da distância (porque minimizar
ou
leva ao mesmo ponto e evita a raiz):
Passo 3
Simplificar
é direto: a segunda parcela é simplesmente
. Então
Desenvolvendo o quadrado:
portanto
Aqui
está definida para
. Note que
é um polinômio (uma parábola).
Passo 4
Agora encontramos o ponto onde
é mínimo no domínio. Usamos cálculo: derivada de
em relação a
,
Os pontos críticos satisfazem
, então
Esse
está no domínio
, então é candidato.
Passo 5
Verificar que é mínimo: a segunda derivada é
Como
para todo
, a função é côncava para cima e o ponto crítico é de fato um mínimo global (no domínio real); portanto
minimiza
em
.
Passo 6
Calcular a ordenada correspondente na curva:
Assim o ponto da curva mais próximo de
é
Passo 7
(cheque rápido) Valor mínimo da distância ao quadrado:
logo a distância mínima é
. Isso confirma que o ponto encontrado dá uma distância menor que, por exemplo, a distância no limite
(que seria
).