(3,0 points) EDO de \mathbf{1}^{\underline{\text { a }}} ordem - separação de variáveis
(a) (1,5 points) Resolva a equação diferencial separável
\frac{d y}{d t}=t y, \quad t \in \mathbb{R} .
Encontre a solução geral y(t).
(b) (1,5 points) Encontre a solução particular que satisfaz o problema de valor inicial
\frac{d y}{d t}=t y, \quad y(0)=2
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
\frac{dy}{dt}=t\,y,\qquad t\in\mathbb{R},
e pede duas coisas:
(a) encontrar a solução geral y(t) da equação diferencial;
(b) encontrar a solução particular que satisfaz a condição inicial y(0)=2.
Informações relevantes fornecidas:
A incógnita é a função y(t).
A derivada é \dfrac{dy}{dt}.
O lado direito é o produto do variável independente t pelo valor da função y.
Passo 2
Observação importante sobre soluções triviais e domínio: se y(t)\equiv 0 para todo t, então \dfrac{dy}{dt}=0 e a equação \dfrac{dy}{dt}=t\,y fica 0=t\cdot 0, verdade para todo t. Logo y\equiv 0 é uma solução (a solução nula). Para obter as demais soluções, assumimos momentaneamente que y(t)\neq 0 em algum intervalo, para podermos dividir por y.
Passo 3
Separação de variáveis (explicando cada passo): a ideia é reorganizar a equação para ter todos os termos com y do lado esquerdo e todos os termos com t do lado direito. Partindo de
\frac{dy}{dt}=t\,y,
se y\neq 0 podemos dividir ambos os lados por y e multiplicar por dt, obtendo
\frac{1}{y}\,dy = t\,dt.
Aqui \dfrac{1}{y}\,dy significa que estamos integrando em relação a y (mas lembrando que y é função de t); e t\,dt é a parte que depende só de t.
Passo 4
Integramos ambos os lados; isso transforma a equação diferencial numa igualdade entre antiderivadas:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int t\,dt.
Explicando as integrais: \int \dfrac{1}{y}\,dy é \ln|y| (pois a derivada de \ln|y| é \dfrac{1}{y}), e \int t\,dt é \dfrac{t^2}{2}. Assim obtemos, com uma constante de integração C,
\ln|y| = \frac{t^2}{2} + C.
Passo 5
Resolver para y: aplicamos a exponenciação em ambos os lados. Primeiro escrevemos C como \ln A (ou vemos que e^C é uma constante positiva). Temos
Chamando A=e^{C}>0, obtemos |y|=A e^{t^2/2}. Isso dá duas possibilidades de sinal para y; podemos unificar escrevendo uma constante real K (que pode ser positiva, negativa ou zero) tal que
y(t)=K\,e^{\frac{t^2}{2}},\qquad K\in\mathbb{R}.
Repare que K=0 recupera a solução nula y\equiv 0. Portanto a fórmula acima descreve todas as soluções possíveis.
Passo 6
Breve verificação (útil para a prova): derivando y(t)=K e^{t^2/2} usamos a regra da cadeia. A derivada é
\frac{dy}{dt}=K\cdot e^{\frac{t^2}{2}}\cdot \frac{d}{dt}\!\left(\frac{t^2}{2}\right) =K e^{\frac{t^2}{2}}\cdot t = t\cdot \big(K e^{\frac{t^2}{2}}\big)=t\,y,
logo a expressão satisfaz a equação diferencial, confirmação consistente.
Passo 7
Agora a parte (b): aplicar a condição inicial y(0)=2. Substituindo t=0 na solução geral \,y(0)=K e^{0}=K, então
K=2.
Portanto a solução particular que satisfaz y(0)=2 é