(4,0 points) EDO de 2^{\underline{a}} ordem - coeficientes constantes, homogênea
Considere a equação diferencial de 2^{\mathrm{a}} ordem
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0
(a) ( 1,5 points) Encontre a equação característica associada e determine suas raízes. Em seguida, escreva a solução geral y(t).
(b) ( 1,5 points) Determine a solução do problema de valor inicial
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0
(c) (1,0 points) Descreva o comportamento da solução do item anterior quando t \rightarrow+\infty (a solução cresce, decresce, tende a zero, etc.? Justifique brevemente).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
y^{\prime\prime}-3y^{\prime}+2y=0,
e pede três coisas:
  • (a) encontrar a equação característica, suas raízes e escrever a solução geral y(t);
  • (b) resolver o problema de valor inicial com condições y(0)=1 e y'(0)=0;
  • (c) descrever o comportamento da solução do item (b) quando t\to+\infty.
As informações relevantes são apenas a equação diferencial e as condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Método fundamental (explicando como e porquê): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes tentamos uma solução do tipo y(t)=e^{rt}. Isso porque derivar e^{rt} reproduz a mesma função vezes constantes, permitindo transformar a EDO numa equação algébrica para r.
Substituindo y(t)=e^{rt} na EDO obtemos a equação característica
r^{2}-3r+2=0.
Agora resolvemos essa quadrática. Ela fatoriza como
r^{2}-3r+2=(r-1)(r-2),
portanto as raízes são
r_{1}=1,\qquad r_{2}=2.
Como as duas raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é a combinação linear das exponenciais associadas às raízes:
y(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{2t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}. Primeiro calculamos a derivada da solução geral. Derivando termo a termo:
y'(t)=C_{1}r_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}r_{2}e^{r_{2}t}=C_{1}e^{t}+2C_{2}e^{2t}.
Avaliamo-las em t=0:
y(0)=C_{1}+C_{2}=1,
y'(0)=C_{1}+2C_{2}=0.
Obtivemos um sistema linear para C_{1},C_{2}:
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=1,\\[4pt] C_{1}+2C_{2}=0. \end{cases}]

Passo 4

Resolvendo o sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
(C_{1}+2C_{2})-(C_{1}+C_{2})=0-1 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=-1.
Substituindo C_{2}=-1 na primeira equação:
C_{1}+(-1)=1 \quad\Rightarrow\quad C_{1}=2.
Portanto as constantes são C_{1}=2 e C_{2}=-1.

Passo 5

Substituindo as constantes na solução geral obtemos a solução do problema de valor inicial:
y(t)=2e^{t}-e^{2t}.

Passo 6

Análise do comportamento quando t\to+\infty. Escrevendo
y(t)=e^{t}\bigl(2-e^{t}\bigr),
vemos que e^{t}\to+\infty e e^{t} cresce mais rapidamente do que a constante 2. Assim para t grande o fator (2-e^{t}) é negativo com módulo que cresce exponencialmente, e o produto tende a -\infty. Em termos simples: o termo -e^{2t} domina (pois 2>1) e tem coeficiente negativo, logo y(t) diverge para -\infty quando t\to+\infty.

Resposta

(a) Equação característica: r^{2}-3r+2=0. Raízes: r_{1}=1,\; r_{2}=2. Solução geral: y(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{2t}.
(b) Solução com condições iniciais: y(t)=2e^{t}-e^{2t}.
(c) Comportamento quando t\to+\infty: y(t)\to -\infty (diverge negativamente; o termo -e^{2t} domina).

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