(4,0 points) EDO de
ordem - coeficientes constantes, homogênea
Considere a equação diferencial de
ordem
(a) ( 1,5 points) Encontre a equação característica associada e determine suas raízes. Em seguida, escreva a solução geral
.
(b) ( 1,5 points) Determine a solução do problema de valor inicial
(c) (1,0 points) Descreva o comportamento da solução do item anterior quando
(a solução cresce, decresce, tende a zero, etc.? Justifique brevemente).
(b) ( 1,5 points) Determine a solução do problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
e pede três coisas:
- (a) encontrar a equação característica, suas raízes e escrever a solução geral
; - (b) resolver o problema de valor inicial com condições
e ; - (c) descrever o comportamento da solução do item (b) quando
.
As informações relevantes são apenas a equação diferencial e as condições iniciais fornecidas.
Passo 2
Método fundamental (explicando como e porquê): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes tentamos uma solução do tipo
. Isso porque derivar
reproduz a mesma função vezes constantes, permitindo transformar a EDO numa equação algébrica para
.
Substituindo
na EDO obtemos a equação característica
Agora resolvemos essa quadrática. Ela fatoriza como
portanto as raízes são
Como as duas raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é a combinação linear das exponenciais associadas às raízes:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
e
. Primeiro calculamos a derivada da solução geral. Derivando termo a termo:
Avaliamo-las em
:
Obtivemos um sistema linear para
:
Passo 4
Resolvendo o sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Portanto as constantes são
e
.
Passo 5
Substituindo as constantes na solução geral obtemos a solução do problema de valor inicial:
Passo 6
Análise do comportamento quando
. Escrevendo
vemos que
e
cresce mais rapidamente do que a constante
. Assim para
grande o fator
é negativo com módulo que cresce exponencialmente, e o produto tende a
. Em termos simples: o termo
domina (pois
) e tem coeficiente negativo, logo
diverge para
quando
.
Resposta
(a) Equação característica:
. Raízes:
. Solução geral:
.
(b) Solução com condições iniciais:
.
(c) Comportamento quando
:
(diverge negativamente; o termo
domina).