Mostre que para cada função f dada, lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe:
f(x, y)=(x+y)^2x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite de uma função de duas variáveis em
(0,0) não existe. O conteúdo é limite em várias variáveis e vamos precisar usar a ideia de mostrar que o valor do limite depende da direção pela qual
(x,y) se aproxima de (0,0).

Passo 2

Para investigar a dependência de direção, parametrize a reta passando pela origem por y = m x, onde m é a inclinação. Assim, aproximar (x,y) → (0,0) ao longo de diferentes retas.

Passo 3

Substituindo y = m x em f(x,y) temos:
f(x,mx) = (x + m x)^2x^2 + (m x)^2 = x^2(1+m)^2x^2(1+m^2) = (1+m)^21+m^2
Note que o valor de f ao longo dessa reta é uma constante que depende de m.

Passo 4

Escolhendo duas direções diferentes, por exemplo m = 1 e m = -1, obtemos valores distintos:
Para m = 1: f(x,x) = tfrac(1+1)^21+1^2 = 2.
Para m = -1: f(x,-x) = tfrac(1-1)^21+(-1)^2 = 0.
Como esses limites parciais não coincidem, concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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