Mostre que para cada função
dada,
não existe:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o limite de uma função de duas variáveis em
(0,0) não existe. O conteúdo é limite em várias variáveis e vamos precisar usar a ideia de mostrar que o valor do limite depende da direção pela qual
(x,y) se aproxima de (0,0).
(0,0) não existe. O conteúdo é limite em várias variáveis e vamos precisar usar a ideia de mostrar que o valor do limite depende da direção pela qual
(x,y) se aproxima de (0,0).
Passo 2
Para investigar a dependência de direção, parametrize a reta passando pela origem por y = m x, onde m é a inclinação. Assim, aproximar (x,y) → (0,0) ao longo de diferentes retas.
Passo 3
Substituindo y = m x em f(x,y) temos:
Note que o valor de f ao longo dessa reta é uma constante que depende de m.
Passo 4
Escolhendo duas direções diferentes, por exemplo m = 1 e m = -1, obtemos valores distintos:
Para m = 1: .
Para m = -1: .
Como esses limites parciais não coincidem, concluímos que o limite geral não existe.
Para m = 1:
Para m = -1:
Como esses limites parciais não coincidem, concluímos que o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe.