Esboce o gráfico das função:
f(x, y)=2-raiz4-(x-1)^2-(y-2)^2.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função de duas variáveis definida por f(x,y)=2−√(4−(x−1)²−(y−2)²). O conteúdo principal é curvas de nível e superfícies em R³, e vamos precisar reconhecer que essa expressão representa parte de uma esfera.

Passo 2

Para existir √(4−(x−1)²−(y−2)²) dentro de números reais, o radicando precisa ser não-negativo. Então o domínio é dado por
(x-1)^2+(y-2)^2<=4 ou seja, um disco de raio 2 centrado em (1,2) no plano xy.

Passo 3

Definindo z=f(x,y), temos
z=2-raiz4-(x-1)^2-(y-2)^2 e isolando a raiz:
2-z=raiz4-(x-1)^2-(y-2)^2 Elevando ao quadrado, obtemos a equação
(2-z)^2=4-(x-1)^2-(y-2)^2 que reorganizada dá
(x-1)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=4

Passo 4

Isso é a equação de uma esfera de raio 2 com centro em (1,2,2). Como z=2−√(…), a raiz é sempre ≥0, logo z≤2. Por isso o gráfico é apenas a metade inferior (hemiesfera voltada pra baixo).

Passo 5

Para esboçar: no plano xy desenhe o disco de raio 2 em torno de (1,2). Sobre cada ponto desse disco, z varia de 0 até 2 (sendo máximo 2 no centro) segundo a forma da hemisfério inferior.

Resposta

O gráfico é a hemiesfera inferior de raio 2 centrada em (1,2,2), projetada sobre o disco de raio 2 em torno de (1,2) no plano xy, com z variando até 2 pela fórmula f(x,y)=2−√(4−(x−1)²−(y−2)²).

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