Partes real e imaginária Denote por \operatorname{Re}(z) a parte real de z \mathrm{e} \operatorname{Im}(z) a parte imaginária. Mostre que as seguintes relações são válidas para quaisquer números complexos z, z_{1} \mathrm{e} z_{2}.
|\operatorname{Re}(z)| \leq|z|

Passo 1

Vamos provar a desigualdade
\bigl|\operatorname{Re}(z)\bigr|\le|z|
para todo número complexo z. O que precisamos usar é a definição de parte real e de módulo de um número complexo.

Passo 2

Seja
z = x + i\,y,
onde x = \operatorname{Re}(z) e y = \operatorname{Im}(z). Por definição,
|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.
Como y^2\ge0, temos
x^2 \;\le\; x^2 + y^2,
logo
x^2 \;\le\; |z|^2.

Passo 3

Tirando raiz não negativa em ambos os lados de x^2\le|z|^2, obtemos
|x| \;=\;\sqrt{x^2}\;\le\;\sqrt{|z|^2}\;=\;|z|.
Mas x=\operatorname{Re}(z), logo
\bigl|\operatorname{Re}(z)\bigr|\le|z|.

Resposta

\bigl|\operatorname{Re}(z)\bigr|\le|z|\,.

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