Encontre o ponto
do plano
que está mais próximo da origem.
Passo 1
O problema pede para achar o ponto do plano
mais próximo da origem. É um problema de otimização, e como o plano pode ser parametrizado por
e
, vamos expressar
em função de
e
para ficar sem restrição.
Passo 2
Como
, definimos a função que mede o quadrado da distância da origem até um ponto
:
Passo 3
Para encontrar o mínimo, calculamos as derivadas parciais de
e igualamos a zero. Em relação a
temos:
e em relação a
:
Passo 4
Resolvendo o sistema
dividimos a primeira equação por 2 e a segunda por 2, obtendo
Subtraindo a segunda da primeira, chega-se a
e, em seguida,
.
Passo 5
Portanto, o valor de
que minimiza a distância ao planejar
é
.
Resposta
(1/3, 1/3)