Encontre o ponto (x^*, y^*) do plano x+y+z=1 que está mais próximo da origem.

Passo 1

O problema pede para achar o ponto do plano mais próximo da origem. É um problema de otimização, e como o plano pode ser parametrizado por e , vamos expressar em função de e para ficar sem restrição.

Passo 2

Como f(x,y)=x^2+y^2+(1-x-y)^2 , definimos a função que mede o quadrado da distância da origem até um ponto :

Passo 3

Para encontrar o mínimo, calculamos as derivadas parciais de partial fpartial x=2x+2(1-x-y)(-1)=4x+2y-2=0, e igualamos a zero. Em relação a partial fpartial y=2y+2(1-x-y)(-1)=2x+4y-2=0 temos:
e em relação a :

Passo 4

Resolvendo o sistema
4x+2y=2, 2x+4y=2,
dividimos a primeira equação por 2 e a segunda por 2, obtendo
2x+y=1,
x+2y=1
Subtraindo a segunda da primeira, chega-se a e, em seguida, .

Passo 5

Portanto, o valor de que minimiza a distância ao planejar é .

Resposta

(1/3, 1/3)

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