Encontre os pontos nos quais é contínua.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= x+2, & x<0,[6pt] e^x, & 0<= x<=1,[6pt] 2-x, & x>1,
e pede os pontos em que f é contínua. Cada ramo ( x+2, e^x, 2-x) é contínuo onde está definido (polinomial ou exponencial). Só precisamos verificar a continuidade nos pontos de “troca de ramo”, ou seja, em x=0 e em x=1.]

Passo 2

Em qualquer ponto interno de cada intervalo aberto, a função é contínua porque:
– Para x<0, f(x)=x+2 é polinomial.
– Para 0<x<1, f(x)=e^x é exponencial.
– Para x>1, f(x)=2-x é polinomial.
Logo, f é contínua em (-infty,0), em (0,1) e em (1,infty).

Passo 3

Verificação em x=0:
limxto0^-f(x)=limxto0^-(x+2)=2,
limxto0^+f(x)=limxto0^+e^x=e^0=1,
e
f(0)=e^0=1
Como limxto0^-f(x)=2neq1=limxto0^+f(x), f não é contínua em 0.

Passo 4

Verificação em x=1:
limxto1^-f(x)=limxto1^-e^x=e^1=e,
limxto1^+f(x)=limxto1^+(2-x)=2-1=1,
e
f(1)=e^1=e
Aqui limxto1^-f(x)=eneq1=limxto1^+f(x), então f não é contínua em 1.

Resposta

f é contínua para todos os x tal que xneq0 e xneq1; ou seja, em
(-infty,0),cup,(0,1),cup,(1,infty)

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