Determine se a série converge ou diverge. Caso convergir, calcule a soma:
sumn=1^infty 2^2 n+15^n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty 2^2n+15^n
converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos também calcular a soma. O conteúdo aqui é séries geométricas e vamos usar o critério de convergência |r|<1 e a fórmula da soma de uma série geométrica.

Passo 2

Simplificamos o termo geral usando 2^2n+1=2cdot(2^2)^n=2cdot4^n. Assim
an = 2^2n+15^n = 2 cdot 4^n5^n = 2gl(45gr)^n

Passo 3

Reconhecemos que an é uma progressão geométrica de razão
r = 45
Como lvert rrvert = tfrac45<1, a série converge.

Passo 4

A soma de uma série geométrica com primeiro termo a1 e razão r (com |r|<1) é dada por
S = a11-r
Aqui a1 = 2l(tfrac45r).

Passo 5

Calculamos
a1 = 2cdot45 = 85, 1-r = 1 - 45 = 15,
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S = tfrac85tfrac15 = 8

Resposta

A série converge e sua soma é 8.

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