Determine se a série converge ou diverge. Caso convergir, calcule a soma:
sumn=1^infty 2^n+3^n-14^n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty2^n+3^n-14^n
converge ou diverge, e em caso de convergência calcular sua soma. O conteúdo aqui é séries geométricas: vamos separar a soma em duas séries conhecidas e aplicar a fórmula da soma de uma série geométrica.

Passo 2

Escrevemos a série como a soma de duas séries:
sumn=1^infty2^n+3^n-14^n =sumn=1^infty2^n4^n +sumn=1^infty3^n-14^n

Passo 3

A primeira série é
sumn=1^infty2^n4^n =sumn=1^inftyl(24r)^n =sumn=1^inftyl(12r)^n
Como l|tfrac12r|<1, ela converge e sua soma vale
sumn=1^inftyl(tfrac12r)^n =tfrac121-tfrac12 =1

Passo 4

A segunda série é
sumn=1^infty3^n-14^n =sumn=1^infty3^n-14^n-1cdot4 =14sumn=1^inftyl(34r)^n-1
Como l|tfrac34r|<1, ela converge e
sumn=1^inftyl(tfrac34r)^n-1 =11-tfrac34 =4,
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sumn=1^infty3^n-14^n =14cdot4 =1

Passo 5

Somando os resultados das duas séries, obtemos
1 + 1 = 2

Resposta

A série converge e sua soma é 2.

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