Encontre os pontos críticos e classifique-os:
f(x, y)=10 x^2-5 y^2-2 x y+3

Passo 1

Beleza! Vamos encontrar os pontos críticos da função $ f(x, y) = 10x^{2} - 5y^{2} - 2xy + 3 $ e classificá-los. Para isso, vamos usar derivadas parciais e o teste da segunda derivada. Basicamente, temos que descobrir onde as inclinações da função em relação a $ x $ e $ y $ são zero e depois ver que tipo de ponto é esse.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e a $ y $. As derivadas parciais mostram como a função muda quando uma variável varia, mantendo a outra constante.
f
x

Passo 3

Os pontos críticos acontecem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, vamos resolver o sistema de equações:
20x - 2y = 0 -10y - 2x = 0

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo. Da primeira equação:
20x - 2y = 0 implies 10x = y implies y = 10x
Agora, substituímos $ y = 10x $ na segunda equação:
y = 10x
Com $ x = 0 $, temos $ y = 10(0) = 0 $. Então, o ponto crítico é $ (0, 0) $.

Passo 5

Agora, vamos classificar esse ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Primeiro, encontramos as segundas derivadas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 20
fyy = partial^2 fpartial y^2 = -10
fxy = partial^2 fpartial x partial y = -2
O discriminante $ D $ é calculado por:
D
Como $ D < 0 $, isso significa que o ponto $ (0, 0) $ é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é $ (0, 0) $, que é um ponto de sela.

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