Encontre os pontos críticos e classifique-os:
Passo 1
Beleza! Vamos encontrar os pontos críticos da função $ f(x, y) = 10x^{2} - 5y^{2} - 2xy + 3 $ e classificá-los. Para isso, vamos usar derivadas parciais e o teste da segunda derivada. Basicamente, temos que descobrir onde as inclinações da função em relação a $ x $ e $ y $ são zero e depois ver que tipo de ponto é esse.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e a $ y $. As derivadas parciais mostram como a função muda quando uma variável varia, mantendo a outra constante.
Passo 3
Os pontos críticos acontecem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, vamos resolver o sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver o sistema passo a passo. Da primeira equação:
Agora, substituímos $ y = 10x $ na segunda equação:
Com $ x = 0 $, temos $ y = 10(0) = 0 $. Então, o ponto crítico é $ (0, 0) $.
Passo 5
Agora, vamos classificar esse ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Primeiro, encontramos as segundas derivadas:
O discriminante $ D $ é calculado por:
Como $ D < 0 $, isso significa que o ponto $ (0, 0) $ é um ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico é $ (0, 0) $, que é um ponto de sela.