Seja F(x, y)=lang<=-yx^2+y^2, xx^2+y^2+3 xrang<= um campo vetorial em R^2. Calcule a integral de linha do campo F ao longo da curva C2, orientada no sentido horário, onde C2 é a fronteira do retângulo R=(x, y) in R^2 /-pi <= x <= pi,-3 <= y <= 3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha ointC2vec Fcdot dvec r ao longo do contorno do retângulo R=[-pi,pi]times[-3,3], orientado no sentido horário. O campo é
vec F(x,y)=llang<= - yx^2+y^2, xx^2+y^2+3xrrang<=
O que vamos usar: decompor vec F em duas partes — uma singular cujo fluxo é conhecido (campo rotacional puro) e outra sem singularidade, aplicando o Teorema de Green para esta última.

Passo 2

Vamos separar
vec F(x,y)=underbracellang<= - yx^2+y^2, xx^2+y^2rrang<=vec F1+underbracelang<=0,,3xrang<=vec F2
Aqui vec F1 é o campo circular padrão com singularidade em (0,0), cuja circulação em torno de uma curva fechada que engloba a origem (no sentido CCW) é 2pi. vec F2 não tem singularidades.

Passo 3

Para vec F2=(0,3x) podemos aplicar Green diretamente no retângulo. O rotacional (curl) é
partialpartial x(3x)-partialpartial y(0)=3
Como o retângulo tem área $ (2\pi)\times(6)=12\pi$, a integral no contorno orientado CCW seria (2pi)times(6)=12pi. Mas nosso contorno 3cdot12pi=36pi é horário, então
C2

Passo 4

Para vec F1 sabemos que a circulação em torno da origem, no sentido CCW, vale 2pi. Então, no sentido horário, vale
ointC2vec F1cdot dvec r=-2pi

Passo 5

Somando as duas contribuições para vec F=vec F1+vec F2 no sentido horário, temos
ointC2vec Fcdot dvec r=underbrace-36pivec F2+underbrace-2pivec F1=-38pi

Resposta

-38\pi

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