Seja um campo vetorial em . Calcule a integral de linha do campo ao longo da curva , orientada no sentido horário, onde é a fronteira do retângulo .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha ao longo do contorno do retângulo , orientado no sentido horário. O campo é
O que vamos usar: decompor em duas partes — uma singular cujo fluxo é conhecido (campo rotacional puro) e outra sem singularidade, aplicando o Teorema de Green para esta última.
Passo 2
Vamos separar
Aqui vec F1 é o campo circular padrão com singularidade em (0,0), cuja circulação em torno de uma curva fechada que engloba a origem (no sentido CCW) é 2pi. vec F2 não tem singularidades.
Passo 3
Para vec F2=(0,3x) podemos aplicar Green diretamente no retângulo. O rotacional (curl) é
partialpartial x(3x)-partialpartial y(0)=3
Como o retângulo tem área $ (2\pi)\times(6)=12\pi$, a integral no contorno orientado CCW seria (2pi)times(6)=12pi. Mas nosso contorno 3cdot12pi=36pi é horário, então
C2
Passo 4
Para vec F1 sabemos que a circulação em torno da origem, no sentido CCW, vale 2pi. Então, no sentido horário, vale
ointC2vec F1cdot dvec r=-2pi
Passo 5
Somando as duas contribuições para vec F=vec F1+vec F2 no sentido horário, temos