Encontre os pontos críticos e classifique-os como: máximo ou mínimo com
.
Passo 1
O enunciado pede explicitamente duas coisas: encontrar os pontos críticos de
no intervalo
e classificá‑los como máximo ou mínimo. A função dada é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Nenhuma outra informação (figura, tabela, etc.) foi fornecida.
Passo 2
Definição e plano de ataque (sem resolver ainda): um ponto crítico é um ponto onde a derivada de
é zero ou não existe. Aqui
é combinação de seno e cosseno, funções diferenciáveis em toda parte, então só precisamos resolver
.
Antes de calcular, lembro as regras básicas de derivação que vou usar:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Aplicando isso à nossateremos uma expressão simples para .
Passo 3
Calculo da derivada:
Agora procuramos pontos críticos resolvendo
Antes de manipular, verificamos os casos em que dividir por
poderia ser problema: se
então
ou
. Nesses pontos
logo esses pontos não anulam
e não são críticos. Portanto podemos dividir por
sem perder soluções relevantes.
Dividindo por
(onde ela não é zero) obtemos
Passo 4
Resolvendo a equação trigonométrica
.
Seja
. Note que
porque
. Então
e a solução geral de
é
Agora restringimos ao intervalo
. Tomando
e
obtemos as duas soluções no intervalo:
ou em forma explícita
Esses são os pontos críticos da função em
.
Passo 5
Agora vamos classificar os pontos críticos. Vou usar o teste da segunda derivada (é simples aqui): se
então
é mínimo local; se
então
é máximo local.
Calculamos
derivando
:
Para avaliar
em
e
precisamos de
e
. Como
, usamos o triângulo retângulo 3–4–5:
Passo 6
Avaliação da segunda derivada nos pontos críticos — cálculos detalhados:
Para
sabemos que
e
. Assim
Substituindo
e
:
Como
, concluímos que
é um ponto de máximo local.
Para
temos
e
. Então
Substituindo os valores:
Como
, concluímos que
é um ponto de mínimo local.