Resolva as equações diferenciais lineares de segunda ordem (homogêneas) dadas a seguir.
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=0 com y(0)=1 e y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condições iniciais abaixo e achar a função y(t) que satisfaça tudo:
y'' - 5y' + 6y = 0
com as condições iniciais
y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
Dados relevantes: a equação é linear, homogênea e de coeficientes constantes; foi dada a condição inicial em t=0 para y e y'.

Passo 2

Ideia do método (por que usar): para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, uma tentativa clássica é procurar soluções do tipo y(t)=e^{rt}, porque derivar exponenciais só multiplica por constantes e transforma a EDO numa equação algébrica para r. Vou mostrar isso passo a passo.
Substituindo y(t)=e^{rt} nas derivadas temos
y'(t)=r e^{rt},\qquad y''(t)=r^{2} e^{rt}.
Agora substituímos essas expressões na equação diferencial:
r^{2} e^{rt} - 5 r e^{rt} + 6 e^{rt} = 0.
Como e^{rt}\neq 0 para todo t, podemos dividir por e^{rt} e obter a chamada equação característica:
r^{2} - 5 r + 6 = 0.

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
r^{2} - 5 r + 6 = 0.
Fatorando o polinômio temos
r^{2} - 5 r + 6 = (r-2)(r-3) = 0,
portanto as raízes são
r_{1}=2,\qquad r_{2}=3.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(t)=C_{1} e^{2t} + C_{2} e^{3t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Calculemos a derivada y'(t) para poder usar a condição y'(0)=0:
y'(t)=2 C_{1} e^{2t} + 3 C_{2} e^{3t}.
Agora aplique as condições iniciais em t=0. Como e^{0}=1, temos da condição y(0)=1:
C_{1} + C_{2} = 1.
E da condição y'(0)=0:
2 C_{1} + 3 C_{2} = 0.

Passo 5

Resolvendo o sistema linear para C_{1}\) e \(C_{2}\): \[\begin{cases} C_{1} + C_{2} = 1,\\[4pt] 2 C_{1} + 3 C_{2} = 0. \end{cases}
Faço (\text{segunda}) - 2\cdot(\text{primeira})\]: \[(2C_{1}+3C_{2}) - 2(C_{1}+C_{2}) = 0 - 2\cdot 1.\] O lado esquerdo fica \(C_{2} e o lado direito fica -2, então
C_{2} = -2.
Substituindo em C_{1}+C_{2}=1 obtemos
C_{1} = 1 - C_{2} = 1 - (-2) = 3.]

Passo 6

Com as constantes encontradas, a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
y(t)=3 e^{2t} - 2 e^{3t}.
Vale a pena checar rapidamente: calcule y'(t)=6 e^{2t} -6 e^{3t} e y''(t)=12 e^{2t} -18 e^{3t}. Substituindo em y''-5y'+6y todas as contribuições em e^{2t} e e^{3t} cancelam, ficando zero; e em t=0 obtemos y(0)=3-2=1 e y'(0)=6-6=0, portanto tudo confere. Bom trabalho — você conseguiu!

Resposta

y(t)=3 e^{2t} - 2 e^{3t}

Exercícios relacionados