Resolva as equações diferenciais lineares de segunda ordem (homogêneas) dadas a seguir.
com
e
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condições iniciais abaixo e achar a função
que satisfaça tudo:
com as condições iniciais
Dados relevantes: a equação é linear, homogênea e de coeficientes constantes; foi dada a condição inicial em
para
e
.
Passo 2
Ideia do método (por que usar): para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, uma tentativa clássica é procurar soluções do tipo
, porque derivar exponenciais só multiplica por constantes e transforma a EDO numa equação algébrica para
. Vou mostrar isso passo a passo.
Substituindo
nas derivadas temos
Agora substituímos essas expressões na equação diferencial:
Como
para todo
, podemos dividir por
e obter a chamada equação característica:
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
Fatorando o polinômio temos
portanto as raízes são
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Calculemos a derivada
para poder usar a condição
:
Agora aplique as condições iniciais em
. Como
, temos da condição
:
E da condição
:
Passo 5
Resolvendo o sistema linear para
Faço
e o lado direito fica
, então
Substituindo em
obtemos
Passo 6
Com as constantes encontradas, a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
Vale a pena checar rapidamente: calcule
e
. Substituindo em
todas as contribuições em
e
cancelam, ficando zero; e em
obtemos
e
, portanto tudo confere. Bom trabalho — você conseguiu!