Resolva as equações diferenciais lineares de segunda ordem (homogêneas) dadas a seguir.
y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+9 y=0 com y(0)=3 e y^{\prime}(0)=-8

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e as condições iniciais. Especificamente:
  • Equação diferencial: y'' + 6y' + 9y = 0.
  • Condições iniciais: y(0)=3 e y'(0)=-8.
A tarefa é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.

Passo 2

Qual método vamos usar? Para equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes homogêneas (como a que temos), o caminho padrão é procurar soluções da forma y=e^{rx}. Isso transforma a ODE numa equação algébrica para r (a equação característica). Vou explicar por quê: se y=e^{rx}, então y' = r e^{rx} e y'' = r^2 e^{rx}. Substituindo na ODE os fatores e^{rx} são não nulos, então sobra uma equação apenas em r. É um procedimento muito usado em prova porque reduz diferencial para álgebra.

Passo 3

Formamos a equação característica substituindo y=e^{rx} na ODE:
r^2 + 6r + 9 = 0.
Isso vem de r^2 e^{rx} + 6 r e^{rx} + 9 e^{rx}=0 e dividindo por e^{rx}.

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática \;r^2 + 6r + 9 = 0\;.
Podemos fatorar:
r^2 + 6r + 9 = (r+3)^2.
Logo a raiz é r=-3, com multiplicidade 2 (raiz dupla).

Passo 5

Quando a equação característica tem uma raiz real r_0 de multiplicidade 2, a forma geral das soluções é
y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{r_0 x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Explico rapidamente: para raízes simples teríamos combinações lineares de e^{r_1 x} e e^{r_2 x}; para raiz dupla aparece o fator extra x na segunda solução para garantir independência linear das soluções.
No nosso caso r_0 = -3, então a solução geral é
y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{-3x}.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(0)=3. Substituindo x=0 em y(x) temos:
y(0) = (C_1 + C_2\cdot 0) e^{0} = C_1.
Portanto
C_1 = 3.

Passo 7

Agora precisamos y'(x) para usar a condição y'(0)=-8. Vou derivar y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{-3x} passo a passo usando a regra do produto. Seja u(x)=C_1 + C_2 x e v(x)=e^{-3x}. Então
y' = u'v + uv'.
Calculamos u' = C_2 e v' = -3 e^{-3x}. Logo
y'(x) = C_2 e^{-3x} + (C_1 + C_2 x)(-3 e^{-3x}).
Fatorando e^{-3x} obtemos
y'(x) = e^{-3x}\bigl(C_2 - 3C_1 - 3C_2 x\bigr).

Passo 8

Aplicamos a condição inicial y'(0)=-8. Substituindo x=0 na expressão de y':
y'(0) = e^{0}\bigl(C_2 - 3C_1 - 3C_2\cdot 0\bigr) = C_2 - 3C_1.
Já sabemos C_1=3, então
y'(0) = C_2 - 3\cdot 3 = C_2 - 9.
Como y'(0)=-8, temos
C_2 - 9 = -8 \quad\Rightarrow\quad C_2 = 1.

Passo 9

Agora que temos C_1=3 e C_2=1, substituímos na solução geral:
y(x) = (3 + 1\cdot x) e^{-3x} = (3+x)e^{-3x}.

Resposta

(3+x)e^{-3x}

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