Resolva as equações diferenciais lineares de segunda ordem (homogêneas) dadas a seguir.
com
e
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e as condições iniciais. Especificamente:
- Equação diferencial:
. - Condições iniciais:
e .
A tarefa é encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Passo 2
Qual método vamos usar? Para equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes homogêneas (como a que temos), o caminho padrão é procurar soluções da forma
. Isso transforma a ODE numa equação algébrica para
(a equação característica). Vou explicar por quê: se
, então
e
. Substituindo na ODE os fatores
são não nulos, então sobra uma equação apenas em
. É um procedimento muito usado em prova porque reduz diferencial para álgebra.
Passo 3
Formamos a equação característica substituindo
na ODE:
Isso vem de
e dividindo por
.
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
.
Podemos fatorar:
Podemos fatorar:
Logo a raiz é
, com multiplicidade
(raiz dupla).
Passo 5
Quando a equação característica tem uma raiz real
de multiplicidade
, a forma geral das soluções é
onde
e
são constantes arbitrárias. Explico rapidamente: para raízes simples teríamos combinações lineares de
e
; para raiz dupla aparece o fator extra
na segunda solução para garantir independência linear das soluções.
No nosso caso
, então a solução geral é
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
em
temos:
Portanto
Passo 7
Agora precisamos
para usar a condição
. Vou derivar
passo a passo usando a regra do produto. Seja
e
. Então
Calculamos
e
. Logo
Fatorando
obtemos
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
na expressão de
:
Já sabemos
, então
Como
, temos
Passo 9
Agora que temos
e
, substituímos na solução geral: