Encontre os pontos críticos e classifique-os usando o teste da segunda derivada para as funções dadas.
(d)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função $ f(x, y) = (x^{2} + y^{2}) e{y{2} - x^{2}} $ e classificá-los usando o teste da segunda derivada. Isso envolve cálculo multivariável, principalmente derivadas parciais e análise de concavidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ e igualá-las a zero.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a $ x $:
Usando a regra do produto:
Passo 4
Agora, calculando a derivada parcial em relação a $ y $:
Novamente, usando a regra do produto:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, igualamos $ f_x $ e $ f_y $ a zero:
Como $ e{y{2} - x^{2}} $ nunca é zero, podemos simplificar:
Passo 6
Da segunda equação, temos que $ y = 0 $ ou $ 1 + x^{2} + y^{2} = 0 $. A segunda opção não tem solução real, então $ y = 0 $.
Substituindo $ y = 0 $ na primeira equação:
Isso dá $ x = 0 $ ou $ x^{2} = 1 $, ou seja, $ x = \pm 1 $.
Passo 7
Então, os pontos críticos são $ (0, 0) $, $ (1, 0) $ e $ (-1, 0) $.
Passo 8
Agora, vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas $ f_{xx} $, $ f_{yy} $ e $ f_{xy} $.
Passo 9
Calculando $ f_{xx} $:
Após derivar e simplificar, encontramos:
Calculando $ f_{yy} $:
Após derivar e simplificar, encontramos:
Calculando $ f_{xy} $:
Após derivar e simplificar, encontramos:
Passo 10
Vamos calcular o determinante da matriz Hessiana $ D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^{2} $ em cada ponto crítico.
Para $ (0, 0) $:
Como $ f_{xx} > 0 $, é um mínimo local.
Para $ (1, 0) $:
Como $ D < 0 $, são pontos de sela.
O mesmo vale para $ (-1, 0) $.
Resposta
Os pontos críticos são $ (0, 0) $, que é um ponto de mínimo local, e $ (1, 0) $ e $ (-1, 0) $, que são pontos de sela.