Encontre os pontos críticos e classifique-os usando o teste da segunda derivada para as funções dadas.
(d) f(x, y)=(x^2+y^2) e^y^2-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função $ f(x, y) = (x^{2} + y^{2}) e{y{2} - x^{2}} $ e classificá-los usando o teste da segunda derivada. Isso envolve cálculo multivariável, principalmente derivadas parciais e análise de concavidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ e igualá-las a zero.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a $ x $:
x
Usando a regra do produto:
fx = partialpartial x ( (x^2 + y^2) e^y^2 - x^2 )

Passo 4

Agora, calculando a derivada parcial em relação a $ y $:
y
Novamente, usando a regra do produto:
fy = partialpartial y ( (x^2 + y^2) e^y^2 - x^2 )

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, igualamos $ f_x $ e $ f_y $ a zero:
fx
fy
Como $ e{y{2} - x^{2}} $ nunca é zero, podemos simplificar:
2x e^y^2 - x^2 (1 - (x^2 + y^2)) = 0
2y e^y^2 - x^2 (1 + x^2 + y^2) = 0

Passo 6

Da segunda equação, temos que $ y = 0 $ ou $ 1 + x^{2} + y^{2} = 0 $. A segunda opção não tem solução real, então $ y = 0 $.
Substituindo $ y = 0 $ na primeira equação:
y = 0
Isso dá $ x = 0 $ ou $ x^{2} = 1 $, ou seja, $ x = \pm 1 $.

Passo 7

Então, os pontos críticos são $ (0, 0) $, $ (1, 0) $ e $ (-1, 0) $.

Passo 8

Agora, vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas $ f_{xx} $, $ f_{yy} $ e $ f_{xy} $.

Passo 9

Calculando $ f_{xx} $:
fxx
Após derivar e simplificar, encontramos:
fxx = partialpartial x ( 2x e^y^2 - x^2 (1 - (x^2 + y^2)) )
Calculando $ f_{yy} $:
fxx = 2 e^y^2 - x^2 (1 - (x^2 + y^2) - 2x^2)
Após derivar e simplificar, encontramos:
fyy
Calculando $ f_{xy} $:
fyy = partialpartial y ( 2y e^y^2 - x^2 (1 + x^2 + y^2) )
Após derivar e simplificar, encontramos:
fyy = 2 e^y^2 - x^2 (1 + x^2 + y^2 + 2y^2)

Passo 10

Vamos calcular o determinante da matriz Hessiana $ D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^{2} $ em cada ponto crítico.
Para $ (0, 0) $:
D = fxxfyy - (fxy)^2
(0, 0)
fxx = 2 e^0 (1 - 0 - 0) = 2
fyy = 2 e^0 (1 + 0 + 0) = 2
Como $ f_{xx} > 0 $, é um mínimo local.
Para $ (1, 0) $:
fxy = 0
D = (2)(2) - 0 = 4 > 0
fxx > 0
(1, 0)
Como $ D < 0 $, são pontos de sela.
O mesmo vale para $ (-1, 0) $.

Resposta

Os pontos críticos são $ (0, 0) $, que é um ponto de mínimo local, e $ (1, 0) $ e $ (-1, 0) $, que são pontos de sela.

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