Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S; ou seja, calcule o fluxo de F através de S.
F=r|r|, onde r=x i+y j+z k,
S consiste no hemisfério z=raiz1-x^2-y^2 e no disco x^2+y^2 <= 1 no plano x y

Passo 1

O problema pede o fluxo de F( r)= r,| r| através da superfície fechada S formada pelo hemisfério z=raiz1-x^2-y^2 e pelo disco x^2+y^2<=1. Como S é fechada, a gente aplica o Teorema da Divergência: o fluxo é integral triplaV nablacdot F,dV.

Passo 2

A gente calcula primeiro a divergência de F. Escrevendo R=| r|=raizx^2+y^2+z^2, tem F=(xR,yR,zR). Então
nablacdot F=partialpartial x(xR)+partialpartial y(yR)+partialpartial z(zR)

Passo 3

Usando produto e que partial R/partial x=x/R (e similares), obtemos
nablacdot F=(xxR+yyR+zzR)+3R=R+3R=4R

Passo 4

Agora o fluxo é integral triplaV4R,dV. Vamos para coordenadas esféricas: x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi, com 0<=rho<=1, 0<=phi<=pi/2, 0<=theta<2pi e dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta.
O integrando fica 4rhocdotrho^2sinphi=4rho^3sinphi. Logo
integral triplaV4R,dV=4integral0^2pi!dthetaintegral0^pi/2!sinphi,dphiintegral0^1!rho^3,drho

Passo 5

Calculando cada parte: integral0^1rho^3drho=1/4, integral0^pi/2sinphi,dphi=1, integral0^2pidtheta=2pi. Então o resultado é
4times14times1times2pi=2pi

Resposta

2pi

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