Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
; ou seja, calcule o fluxo de
através de
.
, onde
,
consiste no hemisfério
e no disco
no plano
Passo 1
O problema pede o fluxo de
através da superfície fechada
formada pelo hemisfério
e pelo disco
. Como
é fechada, a gente aplica o Teorema da Divergência: o fluxo é
.
Passo 2
A gente calcula primeiro a divergência de
. Escrevendo
, tem
. Então
Passo 3
Usando produto e que
(e similares), obtemos
Passo 4
Agora o fluxo é
. Vamos para coordenadas esféricas:
,
,
, com
,
,
e
.
O integrando fica . Logo
O integrando fica
Passo 5
Calculando cada parte:
,
,
. Então o resultado é