Escreva cada uma das integrais abaixo na ordem
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para reescrever uma integral tripla na ordem $ dz, dy, dx $. Isso envolve entender como os limites de integração mudam quando a ordem das variáveis muda. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo de Múltiplas Integrais, especificamente a troca de ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a integral que a gente tem:
Aqui, a ordem das integrais é $ dx, dy, dz $. Nosso objetivo é reescrever isso na ordem $ dz, dy, dx $.
Passo 3
Para trocar a ordem das integrais, precisamos entender os limites de cada variável. Vamos analisar cada um:
- Para $ z $: De 0 a 1.
- Para $ y $: De 0 a $ 1 - z $.
- Para $ x $: De 0 a $ 1 - z - y $.
Isso define a região de integração no espaço tridimensional.
Passo 4
Agora, vamos reescrever os limites para a nova ordem $ dz, dy, dx $. Isso significa que queremos integrar primeiro em $ z $, depois em $ y $ e por último em $ x $.
- Para $ x $: Vai de 0 a 1.
- Para $ y $: Para um valor fixo de $ x $, $ y $ vai de 0 a $ 1 - x $.
- Para $ z $: Para valores fixos de $ x $ e $ y $, $ z $ vai de 0 a $ 1 - x - y $.
Passo 5
Com esses novos limites, a integral na ordem $ dz, dy, dx $ fica assim:
Resposta
A integral reescrita na ordem $ dz, dy, dx $ é: