Use coordenadas cilíndricas e calcule as seguintes integrais:
integral1^raiz2 integral0^raiz2-x^2 integral0^1 x d z d y d x.

Passo 1

Neste exercício, precisamos calcular a integral tripla integral1^raiz2 integral0^raiz2-x^2 integral0^1 x , dz , dy , dx utilizando coordenadas cilíndricas. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais múltiplas e a mudança de coordenadas. Para resolver, vamos precisar entender como transformar a integral de coordenadas cartesianas para cilíndricas e ajustar os limites de integração adequadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas cilíndricas. No sistema de coordenadas cilíndricas, um ponto no espaço é descrito por (r, theta, z), onde:
  • r é a distância do ponto ao eixo z.
  • theta é o ângulo em relação ao eixo x no plano xy.
  • z é a mesma coordenada z no sistema cartesiano.
As relações entre coordenadas cartesianas (x, y, z) e cilíndricas são dadas por:
x = r costheta y = r sintheta z = z
Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dV = r , dr , dtheta , dz.

Passo 3

Vamos analisar os limites de integração no sistema cartesiano e transformá-los para coordenadas cilíndricas.
Temos:
  • x varia de 1 a raiz2.
  • Para cada x, y varia de 0 a raiz2 - x^2.
  • Para cada (x, y), z varia de 0 a 1.
A equação x^2 + y^2 = 2 descreve um círculo de raio raiz2 no plano xy. Como x varia de 1 a raiz2 e y de 0 a raiz2 - x^2, estamos integrando sobre a porção do círculo onde x >= 1 e y >= 0.

Passo 4

Em coordenadas cilíndricas:
  • r varia de 1 a raiz2 (já que x vai de 1 a raiz2, e r = raizx^2 + y^2).
  • theta varia de 0 a pi2 (pois y >= 0 e x >= 0).
  • z varia de 0 a 1, conforme o enunciado.

Passo 5

Agora, fazemos a substituição das variáveis e do elemento de volume na integral original.
A integral original em coordenadas cilíndricas fica:
integral0^1 integral1^raiz2 integral0^pi2 (r costheta) cdot r , dtheta , dr , dz
Simplificando, temos:
integral0^1 dz integral1^raiz2 r^2 , dr integral0^pi2 costheta , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em theta:
integral0^pi2 costheta , dtheta = sintheta g|0^pi2 = sin(pi2) - sin(0) = 1 - 0 = 1

Passo 7

Agora, a integral fica:
integral0^1 dz integral1^raiz2 r^2 cdot 1 , dr = integral0^1 dz integral1^raiz2 r^2 , dr
Resolvemos a integral em r:
integral1^raiz2 r^2 , dr = r^33 g|1^raiz2 = (raiz2)^33 - 1^33 = 2raiz23 - 13 = 2raiz2 - 13

Passo 8

Por fim, a integral em z:
integral0^1 2raiz2 - 13 , dz = 2raiz2 - 13 cdot z g|0^1 = 2raiz2 - 13 cdot (1 - 0) = 2raiz2 - 13

Resposta

A integral calculada é 2raiz2 - 13.

Exercícios relacionados