Use coordenadas cilíndricas e calcule as seguintes integrais: .
Passo 1
Neste exercício, precisamos calcular a integral tripla utilizando coordenadas cilíndricas. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais múltiplas e a mudança de coordenadas. Para resolver, vamos precisar entender como transformar a integral de coordenadas cartesianas para cilíndricas e ajustar os limites de integração adequadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas cilíndricas. No sistema de coordenadas cilíndricas, um ponto no espaço é descrito por , onde:
é a distância do ponto ao eixo .
é o ângulo em relação ao eixo no plano .
é a mesma coordenada no sistema cartesiano.
As relações entre coordenadas cartesianas e cilíndricas são dadas por:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .
Passo 3
Vamos analisar os limites de integração no sistema cartesiano e transformá-los para coordenadas cilíndricas.
Temos:
varia de a .
Para cada , varia de a .
Para cada , varia de a .
A equação descreve um círculo de raio no plano . Como varia de a e de a , estamos integrando sobre a porção do círculo onde e .
Passo 4
Em coordenadas cilíndricas:
varia de a (já que vai de a , e ).
varia de a (pois e ).
varia de a , conforme o enunciado.
Passo 5
Agora, fazemos a substituição das variáveis e do elemento de volume na integral original.
A integral original em coordenadas cilíndricas fica:
Simplificando, temos:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em :
Passo 7
Agora, a integral fica:
integral0^1 dz integral1^raiz2 r^2 cdot 1 , dr = integral0^1 dz integral1^raiz2 r^2 , dr