Encontre os valores extremos das funções nos respectivos domínios.
(a) f(x, y)=x^3-2 y, 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar os valores extremos da função $ f(x, y) = x^{3} - 2y $ no domínio onde $ 0 \leq x \leq 1 $ e $ 0 \leq y \leq 1 $. Aqui, estamos trabalhando com funções de duas variáveis e queremos encontrar os máximos e mínimos dessa função dentro desse intervalo específico. Para isso, vamos precisar entender sobre extremos absolutos e como analisar as fronteiras do domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função tem pontos críticos dentro do domínio. Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ e igualá-las a zero.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
x
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
y

Passo 3

Agora, vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
3x^2 = 0 Rightarrow x = 0
-2 = 0
A segunda equação $ -2 = 0 $ não tem solução, o que significa que não há pontos críticos dentro do domínio onde ambas as derivadas parciais sejam zero simultaneamente.

Passo 4

Como não há pontos críticos internos, os extremos da função devem estar nas fronteiras do domínio. Vamos então analisar as bordas do retângulo $ 0 \leq x \leq 1 $ e $ 0 \leq y \leq 1 $.
Vamos considerar as quatro bordas:
  1. $ x = 0 $: Aqui, $ f(0, y) = 0^{3} - 2y = -2y $. Como $ y $ varia de 0 a 1, $ f $ varia de 0 a -2.
  2. $ x = 1 $: Aqui, $ f(1, y) = 1^{3} - 2y = 1 - 2y $. Com $ y $ de 0 a 1, $ f $ varia de 1 a -1.
  3. $ y = 0 $: Aqui, $ f(x, 0) = x^{3} - 0 = x^{3} $. Com $ x $ de 0 a 1, $ f $ varia de 0 a 1.
  4. $ y = 1 $: Aqui, $ f(x, 1) = x^{3} - 2 = x^{3} - 2 $. Com $ x $ de 0 a 1, $ f $ varia de -2 a -1.

Passo 5

Agora, vamos identificar os valores máximos e mínimos observando os resultados das fronteiras:
  • Máximo Absoluto: O maior valor que $ f $ atinge é 1, que ocorre quando $ x = 1 $ e $ y = 0 $.
  • Mínimo Absoluto: O menor valor que $ f $ atinge é -2, que ocorre quando $ x = 0 $ e $ y = 1 $.

Resposta

Os valores extremos da função $ f(x, y) = x^{3} - 2y $ no domínio dado são:
  • Máximo absoluto: $ f(1, 0) = 1 $
  • Mínimo absoluto: $ f(0, 1) = -2 $

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