Encontre os valores extremos das funções nos respectivos domínios.
(a)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar os valores extremos da função $ f(x, y) = x^{3} - 2y $ no domínio onde $ 0 \leq x \leq 1 $ e $ 0 \leq y \leq 1 $. Aqui, estamos trabalhando com funções de duas variáveis e queremos encontrar os máximos e mínimos dessa função dentro desse intervalo específico. Para isso, vamos precisar entender sobre extremos absolutos e como analisar as fronteiras do domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função tem pontos críticos dentro do domínio. Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ e igualá-las a zero.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
A segunda equação $ -2 = 0 $ não tem solução, o que significa que não há pontos críticos dentro do domínio onde ambas as derivadas parciais sejam zero simultaneamente.
Passo 4
Como não há pontos críticos internos, os extremos da função devem estar nas fronteiras do domínio. Vamos então analisar as bordas do retângulo $ 0 \leq x \leq 1 $ e $ 0 \leq y \leq 1 $.
Vamos considerar as quatro bordas:
- $ x = 0 $: Aqui, $ f(0, y) = 0^{3} - 2y = -2y $. Como $ y $ varia de 0 a 1, $ f $ varia de 0 a -2.
- $ x = 1 $: Aqui, $ f(1, y) = 1^{3} - 2y = 1 - 2y $. Com $ y $ de 0 a 1, $ f $ varia de 1 a -1.
- $ y = 0 $: Aqui, $ f(x, 0) = x^{3} - 0 = x^{3} $. Com $ x $ de 0 a 1, $ f $ varia de 0 a 1.
- $ y = 1 $: Aqui, $ f(x, 1) = x^{3} - 2 = x^{3} - 2 $. Com $ x $ de 0 a 1, $ f $ varia de -2 a -1.
Passo 5
Agora, vamos identificar os valores máximos e mínimos observando os resultados das fronteiras:
- Máximo Absoluto: O maior valor que $ f $ atinge é 1, que ocorre quando $ x = 1 $ e $ y = 0 $.
- Mínimo Absoluto: O menor valor que $ f $ atinge é -2, que ocorre quando $ x = 0 $ e $ y = 1 $.
Resposta
Os valores extremos da função $ f(x, y) = x^{3} - 2y $ no domínio dado são:
- Máximo absoluto: $ f(1, 0) = 1 $
- Mínimo absoluto: $ f(0, 1) = -2 $