Sejam F(t)=t i+j+e^t k e G(t)=i+j+k. Calcule:
(a) integral0^1 F(t) wed>= G(t) d t;
(b) integral0^1 F(t) cdot G(t) d t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão apresenta duas funções vetoriais, $ F(t) = t,\mathbf{i} + \mathbf{j} + e^{t},\mathbf{k} $ e $ G(t) = \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k} F(t) = t,i + j + e^t,k \wedge G(t) = i + j + k \cdot $). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial como produto vetorial, produto escalar e integração de funções vetoriais.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): $ \int_{0}^{1} F(t) \wedge G(t) , dt $.
Primeiro, precisamos encontrar o produto vetorial de $ F(t) $ e $ G(t) $. O produto vetorial entre dois vetores $ \mathbf{A} = A_x,\mathbf{i} + A_y,\mathbf{j} + A_z,\mathbf{k} $ e $ \mathbf{B} = B_x,\mathbf{i} + B_y,\mathbf{j} + B_z,\mathbf{k} $ é dado por:
integral0^1 F(t) wed>= G(t) , dt

Passo 3

Aplicando isso às nossas funções:
F(t) wed>= G(t) = i & j & k t & 1 & e^t 1 & 1 & 1
Calculando o determinante:
F(t) wed>= G(t) = i(1 cdot 1 - e^t cdot 1) - j(t cdot 1 - e^t cdot 1) + k(t cdot 1 - 1 cdot 1)
= i(1 - e^t) - j(t - e^t) + k(t - 1)

Passo 4

Agora, vamos integrar cada componente de $ F(t) \wedge G(t) $ de 0 a 1:
F(t) wed>= G(t)
Calculando cada integral:
  1. Para $ \mathbf{i} $:
integral0^1 F(t) wed>= G(t) , dt = i integral0^1 (1 - e^t) , dt - j integral0^1 (t - e^t) , dt + k integral0^1 (t - 1) , dt
  1. Para $ \mathbf{j} $:
i
  1. Para $ \mathbf{k} $:
integral0^1 (1 - e^t) , dt = [ t - e^t ]0^1 = (1 - e) - (0 - 1) = 1 - e + 1 = 2 - e

Passo 5

Substituindo de volta na expressão vetorial:
integral0^1 F(t) wed>= G(t) , dt = i(2 - e) - j(32 - e) + k(-12)

Passo 6

Simplificando, temos:
integral0^1 F(t) wed>= G(t) , dt = (2 - e),i - (32 - e)j - 12,k

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b): $ \int_{0}^{1} F(t) \cdot G(t) , dt $.
O produto escalar entre dois vetores $ \mathbf{A} $ e $ \mathbf{B} $ é dado por:
integral0^1 F(t) cdot G(t) , dt

Passo 8

Aplicando isso às nossas funções:
F(t) cdot G(t) = t cdot 1 + 1 cdot 1 + e^t cdot 1 = t + 1 + e^t

Passo 9

Agora, vamos integrar essa expressão de 0 a 1:
integral0^1 F(t) cdot G(t) , dt = integral0^1 (t + 1 + e^t) , dt
Calculando a integral:
integral0^1 t , dt + integral0^1 1 , dt + integral0^1 e^t , dt = [ t^22 ]0^1 + [ t ]0^1 + [ e^t ]0^1
= ( 12 - 0 ) + (1 - 0) + (e - 1) = 12 + 1 + e - 1 = 12 + e

Resposta

(a) integral0^1 F(t) wed>= G(t) , dt = (2 - e),i - (32 - e)j - 12,k
(b) integral0^1 F(t) cdot G(t) , dt = e + 12

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