Sejam
e
. Calcule:
(a)
;
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão apresenta duas funções vetoriais, $ F(t) = t,\mathbf{i} + \mathbf{j} + e^{t},\mathbf{k} $ e $ G(t) = \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}
\wedge
\cdot $). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial como produto vetorial, produto escalar e integração de funções vetoriais.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): $ \int_{0}^{1} F(t) \wedge G(t) , dt $.
Primeiro, precisamos encontrar o produto vetorial de $ F(t) $ e $ G(t) $. O produto vetorial entre dois vetores $ \mathbf{A} = A_x,\mathbf{i} + A_y,\mathbf{j} + A_z,\mathbf{k} $ e $ \mathbf{B} = B_x,\mathbf{i} + B_y,\mathbf{j} + B_z,\mathbf{k} $ é dado por:
Passo 3
Aplicando isso às nossas funções:
Calculando o determinante:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada componente de $ F(t) \wedge G(t) $ de 0 a 1:
Calculando cada integral:
- Para $ \mathbf{i} $:
- Para $ \mathbf{j} $:
- Para $ \mathbf{k} $:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão vetorial:
Passo 6
Simplificando, temos:
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b): $ \int_{0}^{1} F(t) \cdot G(t) , dt $.
O produto escalar entre dois vetores $ \mathbf{A} $ e $ \mathbf{B} $ é dado por:
Passo 8
Aplicando isso às nossas funções:
Passo 9
Agora, vamos integrar essa expressão de 0 a 1:
Calculando a integral:
Resposta
(a)
integral0^1 F(t) wed>= G(t) , dt = (2 - e),i - (32 - e)j - 12,k
(b)
integral0^1 F(t) cdot G(t) , dt = e + 12