Encontre os pontos críticos de
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Passo 1
Então, a gente tem a função $ f(x, y) = 192 y^{3} + x^{2} - 4 y x^{2} $. O objetivo é encontrar os pontos críticos dessa função. Na matéria de Cálculo Multivariável, pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Para resolver isso, vamos precisar calcular essas derivadas parciais e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que a gente denota por $ f_x $. Isso significa que a gente deriva $ f $ tratando $ y $ como constante:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ f_y $. Aqui, a gente deriva $ f $ tratando $ x $ como constante:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Passo 5
Vamos simplificar a primeira equação:
Isso nos dá duas possibilidades:
- $ x = 0 $
- $ 2 - 8y = 0 $
$ y = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $
Passo 6
Caso 1: $ x = 0 $
Substituindo na segunda equação:
Então, um ponto crítico é $ (0, 0) $.
Caso 2: $ y = \frac{1}{4} $
Substituindo na segunda equação:
Resolvendo para $ x $:
Então, outros dois pontos críticos são $ (3, \frac{1}{4}) $ e $ (-3, \frac{1}{4}) $.
Resposta
Os pontos críticos da função $ f(x, y) = 192 y^{3} + x^{2} - 4 y x^{2} $ são:
- $ (0, 0) $
- $ (3, \frac{1}{4}) $
- $ (-3, \frac{1}{4}) $