Encontre os pontos críticos de f(x, y)=192 y^3+x^2-4 y x^2.

Passo 1

Então, a gente tem a função $ f(x, y) = 192 y^{3} + x^{2} - 4 y x^{2} $. O objetivo é encontrar os pontos críticos dessa função. Na matéria de Cálculo Multivariável, pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Para resolver isso, vamos precisar calcular essas derivadas parciais e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que a gente denota por $ f_x $. Isso significa que a gente deriva $ f $ tratando $ y $ como constante:
f

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ f_y $. Aqui, a gente deriva $ f $ tratando $ x $ como constante:
f

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
2x - 8y x = 0 576 y^2 - 4 x^2 = 0

Passo 5

Vamos simplificar a primeira equação:
2x - 8y x = 0 Rightarrow x (2 - 8y) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. $ x = 0 $
  2. $ 2 - 8y = 0 $ x = 0 $ y = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $

Passo 6

Caso 1: $ x = 0 $
Substituindo na segunda equação:
x = 0
Então, um ponto crítico é $ (0, 0) $.
Caso 2: $ y = \frac{1}{4} $
Substituindo na segunda equação:
576 y^2 - 4 (0)^2 = 576 y^2 = 0 Rightarrow y = 0
Resolvendo para $ x $:
(0, 0)
Então, outros dois pontos críticos são $ (3, \frac{1}{4}) $ e $ (-3, \frac{1}{4}) $.

Resposta

Os pontos críticos da função $ f(x, y) = 192 y^{3} + x^{2} - 4 y x^{2} $ são:
  • $ (0, 0) $
  • $ (3, \frac{1}{4}) $
  • $ (-3, \frac{1}{4}) $

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