Encontre o valor máximo e o mínimo (e sua localização) de f(x, y, z)=x^2+2 y^2+3 z^2 sujeita às restrições z^2+y^2=x^2 e y=2 x-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor máximo e mínimo da função $ f(x, y, z) = x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} $ considerando as restrições $ z^{2} + y^{2} = x^{2} $ e $ y = 2x - 1 $. Vamos usar conceitos de cálculo de funções com restrições, especificamente substituição de variáveis para simplificar o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a restrição $ y = 2x - 1 $ na função $ f(x, y, z) $. Isso significa que onde vemos $ y $, vamos colocar $ 2x - 1 $.
Então, temos:
y = 2x - 1

Passo 3

Agora, vamos usar a outra restrição $ z^{2} + y^{2} = x^{2} $. Como já sabemos que $ y = 2x - 1 $, podemos substituir isso na equação das restrições:
z^2 + y^2 = x^2
Resolvendo para $ z^{2} $:
y = 2x - 1
z^2 + (2x - 1)^2 = x^2
z^2

Passo 4

Para que $ z^{2} $ seja um número real, a expressão $ -3x^{2} + 4x - 1 $ precisa ser maior ou igual a zero:
z^2
Multiplicando a desigualdade por -1 (lembre que isso inverte o sinal da desigualdade):
-3x^2 + 4x - 1
Vamos resolver essa inequação quadrática. Primeiro, encontramos as raízes da equação $ 3x^{2} - 4x + 1 = 0 $:
-3x^2 + 4x - 1 >= 0
3x^2 - 4x + 1 <= 0
3x^2 - 4x + 1 = 0
Isso significa que $ x $ está no intervalo De.

Passo 5

Agora, vamos expressar a função $ f(x) $ apenas em termos de $ x $, usando as substituições que fizemos:
f(x)
Expandindo os termos:
x
f(x) = x^2 + 2(2x - 1)^2 + 3(-3x^2 + 4x - 1)
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
f(x) = x^2 + 2(4x^2 - 4x + 1) + 3(-3x^2 + 4x - 1)
f(x) = x^2 + 8x^2 - 8x + 2 - 9x^2 + 12x - 3
f(x) = (1x^2 + 8x^2 - 9x^2) + (-8x + 12x) + (2 - 3)

Passo 6

Agora temos a função simplificada $ f(x) = 4x - 1 $ no intervalo $ \frac{1}{3} \leq x \leq 1 $. Essa é uma função linear, o que significa que ela aumenta ou diminui de forma constante no intervalo.
Para encontrar o valor máximo e mínimo, basta avaliar $ f(x) $ nos extremos do intervalo:
  • Para $ x = 1 $:
    f(x) = 4x - 1
  • Para $ x = \frac{1}{3} $:
    13 <= x <= 1

Resposta

O valor máximo de $ f(x, y, z) $ é 3, atingido no ponto $ (1, 1, 0) $, e o valor mínimo é $ \frac{1}{3} $, atingido no ponto $ \left(\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, 0\right) $.

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