Encontre o valor máximo e o mínimo (e sua localização) de
sujeita às restrições
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor máximo e mínimo da função $ f(x, y, z) = x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} $ considerando as restrições $ z^{2} + y^{2} = x^{2} $ e $ y = 2x - 1 $. Vamos usar conceitos de cálculo de funções com restrições, especificamente substituição de variáveis para simplificar o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir a restrição $ y = 2x - 1 $ na função $ f(x, y, z) $. Isso significa que onde vemos $ y $, vamos colocar $ 2x - 1 $.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos usar a outra restrição $ z^{2} + y^{2} = x^{2} $. Como já sabemos que $ y = 2x - 1 $, podemos substituir isso na equação das restrições:
Resolvendo para $ z^{2} $:
Passo 4
Para que $ z^{2} $ seja um número real, a expressão $ -3x^{2} + 4x - 1 $ precisa ser maior ou igual a zero:
Multiplicando a desigualdade por -1 (lembre que isso inverte o sinal da desigualdade):
Vamos resolver essa inequação quadrática. Primeiro, encontramos as raízes da equação $ 3x^{2} - 4x + 1 = 0 $:
Isso significa que $ x $ está no intervalo
.
Passo 5
Agora, vamos expressar a função $ f(x) $ apenas em termos de $ x $, usando as substituições que fizemos:
Expandindo os termos:
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
Passo 6
Agora temos a função simplificada $ f(x) = 4x - 1 $ no intervalo $ \frac{1}{3} \leq x \leq 1 $. Essa é uma função linear, o que significa que ela aumenta ou diminui de forma constante no intervalo.
Para encontrar o valor máximo e mínimo, basta avaliar $ f(x) $ nos extremos do intervalo:
-
Para $ x = 1 $:
-
Para $ x = \frac{1}{3} $:
Resposta
O valor máximo de $ f(x, y, z) $ é 3, atingido no ponto $ (1, 1, 0) $, e o valor mínimo é $ \frac{1}{3} $, atingido no ponto $ \left(\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, 0\right) $.