Encontre a derivada
sabendo que
e que
e
e
(apenas o resultado final será considerado).
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada parcial
de uma função composta. Temos que:
- A função principal é
. - As variáveis
, e são funções de e : -
Vamos utilizar a regra da cadeia para derivadas parciais, que nos permite calcular a derivada de
em relação a
considerando que
depende de
,
e
, que por sua vez dependem de
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a regra da cadeia:
Isso significa que vamos derivar
em relação a cada variável (
,
,
) e multiplicar pela derivada dessas variáveis em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial de
:
-
Derivada de
em relação a : Explicação: Derivamos a função cosseno, o que traz um sinal negativo e o seno, e multiplicamos pela derivada interna. -
Derivada de
em relação a : Explicação: Similar ao caso de, mas aqui a derivada interna é . -
Derivada de
em relação a : Explicação: A derivada interna éporque aparece apenas como termo simples.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
,
e
em relação a
:
-
Derivada de
em relação a : -
Derivada de
em relação a : -
Derivada de
em relação a : Explicação: Utilizamos a regra da derivada da função exponencial, multiplicando pelo derivador do expoenteem relação a , que é .
Passo 5
Substituindo todas as derivadas na expressão da regra da cadeia:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Passo 7
Substituindo as expressões de
,
e
:
Portanto:
Simplificando: