Encontre a derivada partial fpartial s sabendo que f(x, y, z)=cos (x^3+y^2+z) e que x(t, s)=t^2 s^2 e y(t, s)=s^2 t e z(t, s)=e^s t (apenas o resultado final será considerado).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada parcial partial fpartial s de uma função composta. Temos que:
  • A função principal é f(x, y, z) = cos (x^3 + y^2 + z).
  • As variáveis x, y e z são funções de t e s:
    • x(t, s) = t^2 s^2
    • y(t, s) = s^2 t
    • z(t, s) = e^s t
Vamos utilizar a regra da cadeia para derivadas parciais, que nos permite calcular a derivada de f em relação a s considerando que f depende de x, y e z, que por sua vez dependem de s.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a regra da cadeia:
partial fpartial s = partial fpartial x cdot partial xpartial s + partial fpartial y cdot partial ypartial s + partial fpartial z cdot partial zpartial s
Isso significa que vamos derivar f em relação a cada variável ( x, y, z) e multiplicar pela derivada dessas variáveis em relação a s.

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial de f:
  1. Derivada de f em relação a x:
    partial fpartial x = -sin(x^3 + y^2 + z) cdot 3x^2
    Explicação: Derivamos a função cosseno, o que traz um sinal negativo e o seno, e multiplicamos pela derivada interna 3x^2.
  2. Derivada de f em relação a y:
    partial fpartial y = -sin(x^3 + y^2 + z) cdot 2y
    Explicação: Similar ao caso de x, mas aqui a derivada interna é 2y.
  3. Derivada de f em relação a z:
    partial fpartial z = -sin(x^3 + y^2 + z) cdot 1 = -sin(x^3 + y^2 + z)
    Explicação: A derivada interna é 1 porque z aparece apenas como termo simples.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de x, y e z em relação a s:
  1. Derivada de x em relação a s:
    partial xpartial s = partialpartial s(t^2 s^2) = t^2 cdot 2s = 2t^2s
  2. Derivada de y em relação a s:
    partial ypartial s = partialpartial s(s^2 t) = t cdot 2s = 2ts
  3. Derivada de z em relação a s:
    partial zpartial s = partialpartial s(e^s t) = e^s t cdot t = t e^s t
    Explicação: Utilizamos a regra da derivada da função exponencial, multiplicando pelo derivador do expoente st em relação a s, que é t.

Passo 5

Substituindo todas as derivadas na expressão da regra da cadeia:
partial fpartial s = (-sin(x^3 + y^2 + z) cdot 3x^2) cdot 2t^2s + (-sin(x^3 + y^2 + z) cdot 2y) cdot 2ts + (-sin(x^3 + y^2 + z)) cdot t e^s t

Passo 6

Simplificando a expressão:
partial fpartial s = -sin(x^3 + y^2 + z) cdot (3x^2 cdot 2t^2s + 2y cdot 2ts + t e^s t)
partial fpartial s = -sin(x^3 + y^2 + z) cdot (6t^2s cdot x^2 + 4ts cdot y + t e^s t)

Passo 7

Substituindo as expressões de x, y e z:
x = t^2s^2, y = s^2t, z = e^s t
Portanto:
partial fpartial s = -sin(t^6s^6 + s^4t^2 + e^s t) cdot (6t^2s cdot t^4s^4 + 4ts cdot s^2t + t e^s t)
Simplificando:
partial fpartial s = -sin(t^6s^6 + s^4t^2 + e^s t) cdot (6t^6s^5 + 4t^2s^3 + t e^s t)

Resposta

partial fpartial s = -sin(t^6 s^6 + s^4 t^2 + e^s t) cdot (6 t^6 s^5 + 4 t^2 s^3 + t e^s t)

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